隨(sui)機(ji)變量模型和隨(sui)機(ji)過程模型是研究在線亞洲日產一區二區:應力腐蝕概率的常用模(mo)型，本(ben)章(zhang)重點介紹隨(sui)機變量模(mo)型。

一、應(ying)力-強度干涉模型

 1942年，Pugsley提出了采用應(ying)力、強度(du)分(fen)布函數曲線(xian)的(de)(de)干(gan)(gan)涉區面積分(fen)析(xi)(xi)失效概(gai)率的(de)(de)方(fang)法，即應(ying)力－強度(du)干(gan)(gan)涉模(mo)(mo)型(xing)，該模(mo)(mo)型(xing)在(zai)構件和系(xi)統(tong)的(de)(de)可靠性分(fen)析(xi)(xi)中(zhong)得(de)到了廣(guang)(guang)泛(fan)應(ying)用。目前，已成(cheng)(cheng)為(wei)分(fen)析(xi)(xi)構件和系(xi)統(tong)失效概(gai)率的(de)(de)重要模(mo)(mo)型(xing)之一。在(zai)結(jie)構可靠性分(fen)析(xi)(xi)中(zhong)，應(ying)力－強度(du)（S-R)干(gan)(gan)涉模(mo)(mo)型(xing)應(ying)用最(zui)廣(guang)(guang)，模(mo)(mo)型(xing)中(zhong)的(de)(de)S和R的(de)(de)含義不僅僅是力學分(fen)析(xi)(xi)中(zhong)的(de)(de)應(ying)力和強度(du)，二者具(ju)有更(geng)廣(guang)(guang)泛(fan)的(de)(de)范疇。對于(yu)一個(ge)系(xi)統(tong)而言(yan)，S指的(de)(de)是造成(cheng)(cheng)結(jie)構破壞(huai)的(de)(de)所有因素，即推動(dong)力；R代表了結(jie)構抵抗破壞(huai)的(de)(de)能力，即阻抗力。

  應(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)一(yi)種低(di)應(ying)(ying)(ying)力脆(cui)斷(duan)(duan)，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)和腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)兩(liang)種機理(li)(li)相(xiang)互影響的(de)(de)(de)(de)(de)結果(guo)。因(yin)此，當應(ying)(ying)(ying)力還遠低(di)于斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)應(ying)(ying)(ying)力時就能引起應(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)裂(lie)(lie)(lie)紋的(de)(de)(de)(de)(de)產生和擴展。應(ying)(ying)(ying)力作用降(jiang)低(di)了材料的(de)(de)(de)(de)(de)耐(nai)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)性能，而腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)降(jiang)低(di)了材料的(de)(de)(de)(de)(de)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)強(qiang)度(du)(du)，兩(liang)者(zhe)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)互相(xiang)促(cu)進的(de)(de)(de)(de)(de)。也就是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)說，機械力和化(hua)學力的(de)(de)(de)(de)(de)協同(tong)作用導致了裂(lie)(lie)(lie)紋的(de)(de)(de)(de)(de)擴展，如果(guo)只有應(ying)(ying)(ying)力或(huo)腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)單獨作用，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)不會出(chu)現應(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)結果(guo)。應(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)要經過(guo)一(yi)定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)時間才(cai)能發生，這是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)因(yin)為能量積蓄到使材料破(po)壞的(de)(de)(de)(de)(de)程度(du)(du)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)需要時間的(de)(de)(de)(de)(de)，應(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)使材料強(qiang)度(du)(du)逐漸退化(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)過(guo)程，因(yin)此，我們可以采(cai)用耐(nai)久性損傷模型來描述應(ying)(ying)(ying)力腐(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)失效(xiao)的(de)(de)(de)(de)(de)物理(li)(li)過(guo)程。由S-R干涉模型的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論可以寫出(chu)結構(gou)的(de)(de)(de)(de)(de)極(ji)限狀態方程

  因此，對于失(shi)效(xiao)概率(lv)的(de)(de)研(yan)究(jiu)就轉化為(wei)對強度(du)和應力由于概率(lv)分布干涉(she)引起的(de)(de)狀態失(shi)效(xiao)問(wen)題(ti)的(de)(de)研(yan)究(jiu)。當fs(s)和fR(r)分別表(biao)示應力和強度(du)的(de)(de)概率(lv)密(mi)度(du)函(han)數時(shi)，圖中(zhong)兩者重疊部分面積(ji)反映了失(shi)效(xiao)概率(lv)的(de)(de)大小，如圖6-1所(suo)示。

  假如最初應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)與強(qiang)度(du)是留有充(chong)分的(de)(de)安(an)全余量的(de)(de)，那么經過一(yi)定時(shi)間后，隨著應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)分布與強(qiang)度(du)分布的(de)(de)交疊，就有失效發生，這(zhe)種(zhong)情(qing)(qing)形可以說是耐久模(mo)型(xing)的(de)(de)典(dian)型(xing)例(li)子。根據應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)－強(qiang)度(du)干涉模(mo)型(xing)不但能(neng)夠(gou)求解應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐蝕失效概(gai)(gai)率，還可以分析應(ying)(ying)(ying)力(li)(li)腐蝕不同(tong)階段的(de)(de)概(gai)(gai)率情(qing)(qing)況，如裂紋的(de)(de)萌生概(gai)(gai)率、裂紋的(de)(de)擴展概(gai)(gai)率等。

  當材料(liao)發(fa)生腐(fu)蝕(shi)后，隨(sui)(sui)著時(shi)(shi)間(jian)的(de)推移，材料(liao)抵抗破壞的(de)能力(li)(li)降低(di)(di)，而腐(fu)蝕(shi)環境很可(ke)能變(bian)得更(geng)加(jia)苛刻(ke)。例如應力(li)(li)腐(fu)蝕(shi)，隨(sui)(sui)著裂紋的(de)擴展，材料(liao)強度降低(di)(di)、裂紋尖端應力(li)(li)集(ji)中(zhong)區(qu)域增大，局部存(cun)在侵蝕(shi)性離子的(de)富集(ji)，使得廣義(yi)應力(li)(li)變(bian)大而強度降低(di)(di)，此(ci)時(shi)(shi)S(t)和R(t)都是與(yu)時(shi)(shi)間(jian)有(you)關(guan)的(de)變(bian)量，很顯然(ran)，概率密度函數(shu)也著時(shi)(shi)間(jian)的(de)變(bian)化(hua)(hua)而變(bian)化(hua)(hua)。當強度隨(sui)(sui)時(shi)(shi)間(jian)發(fa)生衰(shuai)退(tui)時(shi)(shi)，強度和應力(li)(li)組成的(de)干涉區(qu)域隨(sui)(sui)時(shi)(shi)間(jian)變(bian)化(hua)(hua)會越來越大，這意味著產品可(ke)靠性在降低(di)(di)。

  大(da)多數參(can)數的不確定性與時(shi)間(jian)有關。發(fa)生應(ying)力腐蝕時(shi)，構件所受的廣義(yi)應(ying)力一般是隨機過程，應(ying)力稱(cheng)為(wei)時(shi)間(jian)的函數，強度為(wei)一固定的臨界(jie)值，如圖6-2所示，功(gong)能函數應(ying)表示為(wei)

二、應力腐蝕參數的(de)概(gai)率(lv)分(fen)布(bu)估計

1. 變量分(fen)布類型確(que)定

  采用S-R模型分(fen)(fen)(fen)析應(ying)力(li)腐蝕失(shi)效概(gai)率(lv)時(shi)，第一(yi)步是確(que)定應(ying)力(li)腐蝕的(de)(de)(de)“推動力(li)”，即S所包(bao)含的(de)(de)(de)參(can)(can)數(shu)，包(bao)括(kuo)(kuo)溫度、侵蝕性離子(zi)濃度、pH值(zhi)等，分(fen)(fen)(fen)析各參(can)(can)數(shu)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)概(gai)型。在(zai)進(jin)行參(can)(can)數(shu)的(de)(de)(de)概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)類型研究(jiu)中(zhong)，一(yi)般經過以下步驟：①. 假(jia)設隨機變量(liang)(liang)服(fu)從(cong)某一(yi)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)；②. 在(zai)假(jia)設分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)基礎上構建(jian)統計(ji)量(liang)(liang)；③. 根據統計(ji)量(liang)(liang)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)做出(chu)統計(ji)推斷，進(jin)行擬合檢驗；④. 選擇最優概(gai)型。常用的(de)(de)(de)統計(ji)量(liang)(liang)包(bao)括(kuo)(kuo)均值(zhi)、標準(zhun)差(cha)、極差(cha)、變異系數(shu)、偏度等。正(zheng)態分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)、威布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)、指數(shu)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)以及(ji)Poisson分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)等都是應(ying)力(li)腐蝕概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)析中(zhong)經常用到(dao)的(de)(de)(de)隨機變量(liang)(liang)的(de)(de)(de)概(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)(bu)類型。

通常(chang)，直接計(ji)算(suan)概率的密度(du)函數難度(du)非常(chang)大，常(chang)用的處理方法是把概率密度(du)估(gu)計(ji)轉化為(wei)參數估(gu)計(ji)問題。因此(ci)概率密度(du)函數的確(que)(que)(que)定是關鍵，正確(que)(que)(que)的密度(du)函數是獲得準(zhun)確(que)(que)(que)估(gu)計(ji)值的重要前提。

2. 參數的(de)估計和假設(she)檢驗(yan)

由于正(zheng)態(tai)分布(bu)情況發生的(de)(de)(de)比(bi)較多，因此，以正(zheng)態(tai)分布(bu)為(wei)例(li)加以說明(ming)。參(can)(can)數(shu)(shu)估計的(de)(de)(de)思路(lu)是采用(yong)樣(yang)本統計量(liang)(liang)估計總體參(can)(can)數(shu)(shu)。常用(yong)的(de)(de)(de)參(can)(can)數(shu)(shu)估計方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)有矩(ju)估計法(fa)(fa)(fa)(fa)和(he)最大（極大）似然(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)，除此之外，還有最小二乘、貝葉斯估計等(deng)方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)。矩(ju)估計法(fa)(fa)(fa)(fa)不受變量(liang)(liang)分布(bu)的(de)(de)(de)影(ying)響(xiang)，這也恰恰成為(wei)該(gai)方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)缺點，即(ji)變量(liang)(liang)的(de)(de)(de)分布(bu)信息不能(neng)被充分利用(yong)，一般具(ju)有多個分析結(jie)果。與(yu)矩(ju)估計法(fa)(fa)(fa)(fa)相反，最大似然(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)(de)使(shi)用(yong)受已知變量(liang)(liang)概(gai)型的(de)(de)(de)影(ying)響(xiang)，必(bi)須在已知概(gai)型的(de)(de)(de)前提下(xia)才能(neng)使(shi)用(yong)，而且假設的(de)(de)(de)概(gai)率模(mo)型正(zheng)確性對參(can)(can)數(shu)(shu)估計結(jie)果影(ying)響(xiang)很大。最大似然(ran)估計法(fa)(fa)(fa)(fa)具(ju)有計算簡(jian)單(dan)、收斂型好等(deng)特點，在參(can)(can)數(shu)(shu)估計中(zhong)的(de)(de)(de)應(ying)用(yong)更加廣泛(fan)，其主要(yao)計算步驟如下(xia)：

  式(shi)（6-10)稱為似然(ran)方(fang)程組(zu)，求解該方(fang)程組(zu)，得(de)出均值(zhi)、方(fang)差最大似然(ran)估計(ji)值(zhi)

  以上(shang)過程是(shi)參數(shu)(shu)(shu)估(gu)計(ji)，下面(mian)對參數(shu)(shu)(shu)假設(she)檢驗。與參數(shu)(shu)(shu)估(gu)計(ji)的目的相同，參數(shu)(shu)(shu)假設(she)檢驗也(ye)是(shi)根據樣本信息對總(zong)體的數(shu)(shu)(shu)量特征進行推(tui)斷。

  假(jia)(jia)設(she)檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)(yan)是以樣本資料(liao)對總體(ti)的(de)先(xian)驗(yan)(yan)(yan)假(jia)(jia)設(she)是否成立(li)，根據(ju)樣本的(de)統(tong)計(ji)(ji)(ji)量(liang)檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)(yan)假(jia)(jia)設(she)的(de)總體(ti)參數的(de)可靠(kao)度，同時(shi)做出(chu)(chu)判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)，判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)包括(kuo)接受和拒(ju)絕。分析過程是：①. 提(ti)出(chu)(chu)原(yuan)假(jia)(jia)設(she)（要求檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)(yan)的(de)假(jia)(jia)設(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)(jia)設(she)（如果(guo)(guo)原(yuan)假(jia)(jia)設(she)不成立(li)，就要接受另一個假(jia)(jia)設(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當(dang)的(de)檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)(yan)統(tong)計(ji)(ji)(ji)量(liang)；③. 計(ji)(ji)(ji)算(suan)觀測值；④. 確定顯著(zhu)性水(shui)平；⑤. 依(yi)據(ju)檢(jian)(jian)驗(yan)(yan)(yan)統(tong)計(ji)(ji)(ji)量(liang)觀測值的(de)位置給(gei)出(chu)(chu)判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)。

在(zai)(zai)以上分析過(guo)程中(zhong)，可能會犯(fan)(fan)兩(liang)類錯(cuo)誤：當H0為(wei)(wei)(wei)真時(shi)而(er)(er)拒(ju)絕H0,稱為(wei)(wei)(wei)第一(yi)類錯(cuo)誤；當H0為(wei)(wei)(wei)假(jia)時(shi)而(er)(er)接受H0,稱為(wei)(wei)(wei)第二類錯(cuo)誤。犯(fan)(fan)兩(liang)類錯(cuo)誤的(de)(de)(de)概率(lv)(lv)通(tong)常是(shi)矛盾的(de)(de)(de)：一(yi)個(ge)概率(lv)(lv)小了(le)另一(yi)個(ge)概率(lv)(lv)就大。在(zai)(zai)實際使用中(zhong)，我們一(yi)般限(xian)定犯(fan)(fan)第一(yi)類錯(cuo)誤的(de)(de)(de)概率(lv)(lv)不超過(guo)給定的(de)(de)(de)α,使犯(fan)(fan)第二類錯(cuo)誤的(de)(de)(de)概率(lv)(lv)就可能小。在(zai)(zai)正(zheng)態總體參數的(de)(de)(de)假(jia)設(she)檢驗(yan)中(zhong)，主要包(bao)括均值的(de)(de)(de)U檢驗(yan)和t檢驗(yan)、方差(cha)的(de)(de)(de)χ2檢驗(yan)等。

3. 分布的(de)假設檢驗(yan)

  上一小節介紹的(de)(de)(de)是(shi)在總(zong)(zong)(zong)體(ti)分(fen)布(bu)已知的(de)(de)(de)情況下，對(dui)分(fen)布(bu)中(zhong)的(de)(de)(de)一些未知參(can)數(shu)進行檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)。但是(shi)，很多時候并不知道(dao)總(zong)(zong)(zong)體(ti)的(de)(de)(de)分(fen)布(bu)規律，我們往往是(shi)根(gen)據樣(yang)本來(lai)假(jia)設總(zong)(zong)(zong)體(ti)的(de)(de)(de)分(fen)布(bu)類型，因此，對(dui)于(yu)總(zong)(zong)(zong)體(ti)樣(yang)本所假(jia)設的(de)(de)(de)分(fen)布(bu)是(shi)否正確(que)，還(huan)需要(yao)檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)，常用(yong)的(de)(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)方法，其(qi)中(zhong)χ2檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)應用(yong)較多，下面以(yi)這種方法為例，介紹檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)過程。

  χ2檢驗法的分析過程是：①. 提出原假(jia)設(she)；②. 檢驗假(jia)設(she)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用(yong)若干個互不相交(jiao)的小區間(jian)(jian)(jian)把樣(yang)本數據進行分組(zu)，通常每個區間(jian)(jian)(jian)的數據不少于5個，若不滿足這一要(yao)求(qiu)，可以通過合并區間(jian)(jian)(jian)來達到這一要(yao)求(qiu)。假(jia)設(she)H0成立，根據分組(zu)結果計(ji)(ji)算χ2檢驗統(tong)計(ji)(ji)量

4. 主(zhu)要參數(shu)的概率分布

 根據以上分析步驟，對(dui)應(ying)力腐(fu)蝕環境中的離子濃度的統計性進行分析。數(shu)據來自某石(shi)化企業(ye)的監測數(shu)據。頻率直方圖(tu)要將樣本(ben)(ben)值(zhi)(zhi)分為r個不相(xiang)交的區間，r值(zhi)(zhi)可由 Sturges公式確定，并取(qu)整數(shu)。r值(zhi)(zhi)取(qu)決于(yu)樣本(ben)(ben)數(shu)n。

  首先，假設各參(can)數(shu)(shu)服從正(zheng)態分(fen)布(bu)，并畫出正(zheng)態分(fen)布(bu)的密度函數(shu)(shu)曲線，該計算采用matlab編(bian)程完成，計算結果如圖6-3所示。

  從(cong)圖6-3可以(yi)看出(chu)，pH、氯離子濃度和(he)硫酸根離子濃度滿(man)足(zu)正態(tai)分(fen)布，而亞硫酸根離子濃度不滿(man)足(zu)正態(tai)分(fen)布，經過分(fen)析，認為滿(man)足(zu)威布爾分(fen)布，如圖6-4所示。

  經過卡方檢驗，在(zai)顯著性水(shui)平0.05下，可(ke)以認為：

  溫度服(fu)從(cong)N(98.25,1.642);

  pH服(fu)從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離(li)子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯離子(zi)濃度(du)服(fu)從N(35.3481,17.57352);

  亞硫(liu)酸(suan)根離子濃度(du)服(fu)從(cong)α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布(bu)爾分布(bu)。

  亞硫酸根離子濃(nong)度服從威(wei)布爾分布的原因：亞硫酸根不(bu)穩定(ding)，與(yu)氫(qing)離子反應，從而濃(nong)度逐漸(jian)減小。

三、失效概率計算(suan)方(fang)法

1. 解(jie)析(xi)法

  當應力(li)和強度(du)是比較簡單的(de)變量(liang)時，式（6-4)可(ke)以直接計算失(shi)(shi)效(xiao)概率(lv)。在一些(xie)研(yan)究中(zhong)，會出現“干涉面積(ji)＝失(shi)(shi)效(xiao)概率(lv)”的(de)說法，這種說法是不正確的(de)。根據(ju)可(ke)靠(kao)性理論可(ke)知，應力(li)－強度(du)模型中(zhong)強度(du)大于應力(li)的(de)概率(lv)即為可(ke)靠(kao)度(du)。可(ke)靠(kao)度(du)P可(ke)根據(ju)下式計算

  從計算結果可以看出，失效概率(lv)遠小于干涉面(mian)積之和。

2. 數值解析法

  當隨(sui)機變量(liang)(liang)(liang)較(jiao)(jiao)多(duo)(duo)時，直接求解(jie)失(shi)效概率值是(shi)很困(kun)難的(de)，采(cai)用(yong)數(shu)(shu)值求解(jie)是(shi)一種比(bi)較(jiao)(jiao)好(hao)的(de)解(jie)決(jue)方(fang)法(fa)。在應(ying)力腐蝕概率計算(suan)中，涉及的(de)隨(sui)機變量(liang)(liang)(liang)較(jiao)(jiao)多(duo)(duo)且具有不(bu)同的(de)分布類型(xing)，結果難以(yi)用(yong)解(jie)析(xi)法(fa)和近似法(fa)求解(jie)，可以(yi)采(cai)用(yong)蒙特(te)(te)卡(ka)洛（Monte-Carlo)模(mo)擬(ni)法(fa)。Monte-Carlo模(mo)擬(ni)法(fa)的(de)特(te)(te)點是(shi)：①. 受研究問題維數(shu)(shu)的(de)影響(xiang)較(jiao)(jiao)小；②. 不(bu)受假設約束；③. 不(bu)存在狀態空間爆炸問題；④. 不(bu)受變量(liang)(liang)(liang)數(shu)(shu)量(liang)(liang)(liang)的(de)影響(xiang)。因此(ci)，Monte-Carlo法(fa)是(shi)一種處理高維動態失(shi)效概率問題的(de)方(fang)法(fa)。

  蒙特卡洛模擬法(fa)又稱為隨機模擬法(fa)，基(ji)本思(si)想是(shi)：