隨(sui)機變量模型和隨(sui)機過程模型是研究在線亞洲日產一區二區:應力腐蝕概率的常用模型，本章重點介紹隨機(ji)變(bian)量(liang)模型。

一、應(ying)力-強度干涉模(mo)型

 1942年，Pugsley提出了(le)采(cai)用(yong)應(ying)(ying)力(li)(li)、強度(du)分布函數曲線的(de)(de)(de)(de)干涉區面積分析(xi)(xi)(xi)失(shi)效概(gai)率(lv)的(de)(de)(de)(de)方法，即(ji)應(ying)(ying)力(li)(li)－強度(du)干涉模(mo)型(xing)(xing)(xing)，該模(mo)型(xing)(xing)(xing)在構(gou)件(jian)和(he)(he)(he)系統(tong)的(de)(de)(de)(de)可靠性(xing)分析(xi)(xi)(xi)中(zhong)得到了(le)廣泛應(ying)(ying)用(yong)。目前(qian)，已(yi)成為分析(xi)(xi)(xi)構(gou)件(jian)和(he)(he)(he)系統(tong)失(shi)效概(gai)率(lv)的(de)(de)(de)(de)重要(yao)模(mo)型(xing)(xing)(xing)之一(yi)。在結(jie)構(gou)可靠性(xing)分析(xi)(xi)(xi)中(zhong)，應(ying)(ying)力(li)(li)－強度(du)（S-R)干涉模(mo)型(xing)(xing)(xing)應(ying)(ying)用(yong)最廣，模(mo)型(xing)(xing)(xing)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)S和(he)(he)(he)R的(de)(de)(de)(de)含(han)義不僅僅是力(li)(li)學分析(xi)(xi)(xi)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)應(ying)(ying)力(li)(li)和(he)(he)(he)強度(du)，二者(zhe)具有更(geng)廣泛的(de)(de)(de)(de)范疇。對于一(yi)個系統(tong)而言，S指(zhi)的(de)(de)(de)(de)是造成結(jie)構(gou)破壞的(de)(de)(de)(de)所有因素，即(ji)推動力(li)(li)；R代表了(le)結(jie)構(gou)抵抗破壞的(de)(de)(de)(de)能(neng)力(li)(li)，即(ji)阻抗力(li)(li)。

  應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)是(shi)一種低應(ying)力(li)脆斷(duan)，是(shi)斷(duan)裂(lie)和(he)腐(fu)蝕(shi)兩種機理相互(hu)影響的(de)(de)(de)結果。因(yin)此(ci)，當應(ying)力(li)還遠低于斷(duan)裂(lie)應(ying)力(li)時(shi)就能(neng)(neng)引起應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)裂(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)產(chan)生和(he)擴展。應(ying)力(li)作(zuo)用(yong)(yong)降(jiang)低了材料的(de)(de)(de)耐腐(fu)蝕(shi)性(xing)能(neng)(neng)，而腐(fu)蝕(shi)降(jiang)低了材料的(de)(de)(de)斷(duan)裂(lie)強度(du)，兩者(zhe)是(shi)互(hu)相促(cu)進的(de)(de)(de)。也就是(shi)說，機械力(li)和(he)化學力(li)的(de)(de)(de)協同作(zuo)用(yong)(yong)導致了裂(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)擴展，如果只有應(ying)力(li)或(huo)腐(fu)蝕(shi)單獨作(zuo)用(yong)(yong)，是(shi)不(bu)會出現應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)的(de)(de)(de)結果。應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)斷(duan)裂(lie)要經過一定的(de)(de)(de)時(shi)間(jian)才(cai)能(neng)(neng)發生，這是(shi)因(yin)為能(neng)(neng)量積蓄到使(shi)材料破壞的(de)(de)(de)程(cheng)(cheng)度(du)是(shi)需要時(shi)間(jian)的(de)(de)(de)，應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)是(shi)使(shi)材料強度(du)逐漸退化的(de)(de)(de)過程(cheng)(cheng)，因(yin)此(ci)，我們可以采用(yong)(yong)耐久性(xing)損傷模(mo)型來描(miao)述(shu)應(ying)力(li)腐(fu)蝕(shi)失效的(de)(de)(de)物理過程(cheng)(cheng)。由S-R干涉模(mo)型的(de)(de)(de)理論可以寫(xie)出結構的(de)(de)(de)極限狀態方程(cheng)(cheng)

  因此，對于失效概(gai)率的研(yan)(yan)究就轉化為對強(qiang)度(du)和應力(li)由于概(gai)率分布干涉引起(qi)的狀態失效問(wen)題的研(yan)(yan)究。當fs(s)和fR(r)分別表示應力(li)和強(qiang)度(du)的概(gai)率密度(du)函數時，圖中兩者(zhe)重疊部分面積反映(ying)了失效概(gai)率的大小，如(ru)圖6-1所(suo)示。

  假(jia)如(ru)最(zui)初應(ying)力(li)與(yu)(yu)強度(du)是留有充分(fen)的安全余量的，那么(me)經過一定時間后(hou)，隨著應(ying)力(li)分(fen)布(bu)與(yu)(yu)強度(du)分(fen)布(bu)的交疊(die)，就有失效發生(sheng)，這種情形可以(yi)說是耐(nai)久模型的典型例子。根(gen)據應(ying)力(li)－強度(du)干(gan)涉模型不(bu)(bu)但能夠求解(jie)應(ying)力(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)失效概率(lv)，還可以(yi)分(fen)析應(ying)力(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)不(bu)(bu)同階(jie)段(duan)的概率(lv)情況(kuang)，如(ru)裂紋的萌生(sheng)概率(lv)、裂紋的擴(kuo)展概率(lv)等(deng)。

  當材料(liao)發生(sheng)腐蝕(shi)后，隨著時(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)推移(yi)，材料(liao)抵抗破壞的(de)(de)能(neng)力(li)降(jiang)低，而腐蝕(shi)環(huan)境(jing)很可能(neng)變(bian)(bian)得(de)(de)更加苛刻。例(li)如(ru)應力(li)腐蝕(shi)，隨著裂紋的(de)(de)擴展，材料(liao)強(qiang)度(du)(du)降(jiang)低、裂紋尖端應力(li)集中區域(yu)增(zeng)大，局部存在侵蝕(shi)性(xing)離子的(de)(de)富集，使得(de)(de)廣義應力(li)變(bian)(bian)大而強(qiang)度(du)(du)降(jiang)低，此時(shi)(shi)S(t)和(he)R(t)都是(shi)與時(shi)(shi)間(jian)有(you)關的(de)(de)變(bian)(bian)量，很顯然，概(gai)率密度(du)(du)函數(shu)也著時(shi)(shi)間(jian)的(de)(de)變(bian)(bian)化而變(bian)(bian)化。當強(qiang)度(du)(du)隨時(shi)(shi)間(jian)發生(sheng)衰退(tui)時(shi)(shi)，強(qiang)度(du)(du)和(he)應力(li)組(zu)成的(de)(de)干(gan)涉區域(yu)隨時(shi)(shi)間(jian)變(bian)(bian)化會越來越大，這意味著產(chan)品可靠性(xing)在降(jiang)低。

  大多數(shu)(shu)參(can)數(shu)(shu)的(de)不確定性與時(shi)間(jian)有關。發生應力(li)腐蝕時(shi)，構件所受(shou)的(de)廣(guang)義應力(li)一般是隨機過(guo)程，應力(li)稱(cheng)為(wei)時(shi)間(jian)的(de)函(han)數(shu)(shu)，強度為(wei)一固定的(de)臨界值，如圖6-2所示，功能函(han)數(shu)(shu)應表示為(wei)

二、應力腐蝕參(can)數(shu)的概(gai)率分布估計(ji)

1. 變量分布類型確定

  采用S-R模型(xing)分(fen)(fen)(fen)析(xi)應力腐蝕失效概(gai)(gai)率(lv)時，第一(yi)步是確(que)定應力腐蝕的(de)(de)“推動力”，即S所包(bao)含的(de)(de)參數，包(bao)括溫度、侵蝕性離子(zi)濃(nong)度、pH值等，分(fen)(fen)(fen)析(xi)各(ge)參數的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)概(gai)(gai)型(xing)。在進行(xing)參數的(de)(de)概(gai)(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)類型(xing)研究中，一(yi)般經(jing)過以下(xia)步驟(zou)：①. 假(jia)設(she)隨機變(bian)量(liang)服(fu)從某一(yi)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)；②. 在假(jia)設(she)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)基礎上構建統(tong)計量(liang)；③. 根(gen)據(ju)統(tong)計量(liang)的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)做出(chu)統(tong)計推斷，進行(xing)擬(ni)合(he)檢驗(yan)；④. 選擇最優概(gai)(gai)型(xing)。常(chang)用的(de)(de)統(tong)計量(liang)包(bao)括均(jun)值、標準差、極(ji)差、變(bian)異系(xi)數、偏度等。正態分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)、威布(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)、指數分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)以及Poisson分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)等都是應力腐蝕概(gai)(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)析(xi)中經(jing)常(chang)用到的(de)(de)隨機變(bian)量(liang)的(de)(de)概(gai)(gai)率(lv)分(fen)(fen)(fen)布(bu)(bu)類型(xing)。

通常，直(zhi)接計算概(gai)率的(de)(de)密(mi)度函(han)數(shu)難度非常大，常用的(de)(de)處(chu)理方法是把概(gai)率密(mi)度估(gu)(gu)計轉(zhuan)化為(wei)參數(shu)估(gu)(gu)計問題。因(yin)此概(gai)率密(mi)度函(han)數(shu)的(de)(de)確定(ding)是關(guan)鍵，正確的(de)(de)密(mi)度函(han)數(shu)是獲得準(zhun)確估(gu)(gu)計值的(de)(de)重要前提。

2. 參數的估(gu)計和假設(she)檢驗

由(you)于正(zheng)態分(fen)(fen)布(bu)情(qing)況發(fa)生的(de)(de)比較多，因此，以正(zheng)態分(fen)(fen)布(bu)為(wei)例加(jia)以說明。參(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)思路是采用樣本統計(ji)(ji)(ji)(ji)量(liang)(liang)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)總體參(can)數(shu)。常用的(de)(de)參(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)方法(fa)(fa)(fa)(fa)有(you)矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)和最大(da)(da)（極大(da)(da)）似(si)然(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)，除此之外，還(huan)有(you)最小二乘、貝葉斯估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)等方法(fa)(fa)(fa)(fa)。矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)不(bu)受變量(liang)(liang)分(fen)(fen)布(bu)的(de)(de)影響(xiang)，這也恰恰成為(wei)該方法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)缺(que)點(dian)，即變量(liang)(liang)的(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)信息不(bu)能被充分(fen)(fen)利用，一般具有(you)多個分(fen)(fen)析結(jie)果(guo)。與矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)相反，最大(da)(da)似(si)然(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)的(de)(de)使用受已知變量(liang)(liang)概(gai)型的(de)(de)影響(xiang)，必須在已知概(gai)型的(de)(de)前提下才能使用，而且假設的(de)(de)概(gai)率模型正(zheng)確性對參(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)結(jie)果(guo)影響(xiang)很大(da)(da)。最大(da)(da)似(si)然(ran)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)具有(you)計(ji)(ji)(ji)(ji)算簡單(dan)、收(shou)斂型好等特點(dian)，在參(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)(ji)(ji)中的(de)(de)應(ying)用更加(jia)廣泛(fan)，其(qi)主要計(ji)(ji)(ji)(ji)算步(bu)驟如下：

  式（6-10)稱為似然方程組，求解該(gai)方程組，得出(chu)均值(zhi)、方差最大似然估計值(zhi)

  以上過(guo)程(cheng)是(shi)(shi)參(can)數估計，下面對(dui)參(can)數假設(she)(she)檢(jian)驗。與參(can)數估計的(de)目的(de)相(xiang)同，參(can)數假設(she)(she)檢(jian)驗也是(shi)(shi)根據樣本信(xin)息(xi)對(dui)總體的(de)數量特(te)征進行推斷。

  假(jia)設檢驗是以樣本資料對總(zong)體(ti)的(de)先驗假(jia)設是否成(cheng)立，根據(ju)樣本的(de)統(tong)計量(liang)(liang)檢驗假(jia)設的(de)總(zong)體(ti)參數(shu)的(de)可靠度(du)，同(tong)時做出判斷結(jie)果，判斷結(jie)果包括接受和拒(ju)絕。分(fen)析過程是：①. 提出原假(jia)設（要求檢驗的(de)假(jia)設）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)設（如果原假(jia)設不成(cheng)立，就要接受另一個假(jia)設）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)檢驗統(tong)計量(liang)(liang)；③. 計算觀(guan)測值；④. 確定顯著性水(shui)平；⑤. 依據(ju)檢驗統(tong)計量(liang)(liang)觀(guan)測值的(de)位置給出判斷結(jie)果。

在(zai)以上分析過(guo)程(cheng)中(zhong)，可(ke)(ke)能(neng)會犯兩(liang)類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)(wu)(wu)：當H0為(wei)真時而(er)拒(ju)絕H0,稱為(wei)第(di)一(yi)類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)(wu)(wu)；當H0為(wei)假時而(er)接受(shou)H0,稱為(wei)第(di)二(er)類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)(wu)(wu)。犯兩(liang)類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)(de)(de)概(gai)率(lv)(lv)通(tong)常是矛(mao)盾的(de)(de)(de)：一(yi)個(ge)概(gai)率(lv)(lv)小了(le)另一(yi)個(ge)概(gai)率(lv)(lv)就大(da)。在(zai)實際(ji)使用中(zhong)，我們一(yi)般限定(ding)(ding)犯第(di)一(yi)類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)(de)(de)概(gai)率(lv)(lv)不(bu)超(chao)過(guo)給定(ding)(ding)的(de)(de)(de)α,使犯第(di)二(er)類(lei)錯(cuo)(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)(de)(de)概(gai)率(lv)(lv)就可(ke)(ke)能(neng)小。在(zai)正態總體(ti)參數(shu)的(de)(de)(de)假設檢驗中(zhong)，主要包(bao)括均值的(de)(de)(de)U檢驗和t檢驗、方(fang)差(cha)的(de)(de)(de)χ2檢驗等。

3. 分布的假設檢驗

  上一小節介紹(shao)的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)在總體分(fen)布已知的(de)(de)(de)(de)(de)情況下，對(dui)分(fen)布中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)一些未知參數進(jin)行(xing)檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)。但是(shi)，很(hen)多(duo)時(shi)候并不知道總體的(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)布規律，我們(men)往往是(shi)根據樣本來假(jia)設(she)總體的(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)布類(lei)型(xing)，因此，對(dui)于(yu)總體樣本所假(jia)設(she)的(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)布是(shi)否正(zheng)確，還需要檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)，常用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等(deng)檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)方法(fa)，其中(zhong)(zhong)χ2檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)應用(yong)較多(duo)，下面以這種方法(fa)為(wei)例，介紹(shao)檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)過(guo)程。

  χ2檢驗法的(de)分(fen)析過(guo)程(cheng)是：①. 提出原假(jia)(jia)設；②. 檢驗假(jia)(jia)設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個互不相交的(de)小區間(jian)(jian)把(ba)樣(yang)本數據進行分(fen)組，通(tong)常(chang)每個區間(jian)(jian)的(de)數據不少(shao)于(yu)5個，若不滿(man)足這一(yi)要求，可以通(tong)過(guo)合并區間(jian)(jian)來(lai)達(da)到這一(yi)要求。假(jia)(jia)設H0成立，根(gen)據分(fen)組結(jie)果計算χ2檢驗統計量

4. 主要參數的概率分布

 根據(ju)以(yi)上分析步驟，對(dui)應力腐蝕環境中的(de)離(li)子濃度的(de)統(tong)計性進行分析。數(shu)據(ju)來自某石化企(qi)業的(de)監測數(shu)據(ju)。頻(pin)率直(zhi)方圖要將(jiang)樣(yang)本(ben)值(zhi)(zhi)分為r個(ge)不(bu)相交的(de)區間(jian)，r值(zhi)(zhi)可由 Sturges公式確定(ding)，并(bing)取整數(shu)。r值(zhi)(zhi)取決于(yu)樣(yang)本(ben)數(shu)n。

  首(shou)先，假設各(ge)參數服(fu)從正(zheng)態(tai)分布，并畫出正(zheng)態(tai)分布的密(mi)度函數曲線，該(gai)計算采用(yong)matlab編程完成，計算結果如圖6-3所示。

  從圖6-3可以看出，pH、氯離(li)(li)子(zi)濃度(du)和硫(liu)酸(suan)根離(li)(li)子(zi)濃度(du)滿足正態分(fen)布，而(er)亞(ya)硫(liu)酸(suan)根離(li)(li)子(zi)濃度(du)不滿足正態分(fen)布，經過分(fen)析，認為滿足威(wei)布爾分(fen)布，如圖6-4所示。

  經過卡(ka)方檢驗，在(zai)顯(xian)著性水平0.05下，可以認為：

  溫度服(fu)從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服(fu)從N(143.5204,9.48592);

  氯(lv)離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞(ya)硫(liu)酸根(gen)離子(zi)濃(nong)度(du)服從α=0.5926,β=1.5746的兩參(can)數威(wei)布爾分布。

  亞硫酸根(gen)離子濃度服從威布爾分(fen)布的原(yuan)因：亞硫酸根(gen)不穩定，與(yu)氫離子反(fan)應(ying)，從而濃度逐(zhu)漸減小(xiao)。

三、失(shi)效概率計(ji)算(suan)方法

1. 解析法

  當應(ying)力(li)和強度(du)(du)是(shi)(shi)比較簡單的變量時，式（6-4)可(ke)以直接計(ji)算失效概(gai)率。在一些研究(jiu)中(zhong)，會出(chu)現“干涉面積＝失效概(gai)率”的說法，這(zhe)種說法是(shi)(shi)不正確的。根據(ju)可(ke)靠(kao)性理論可(ke)知，應(ying)力(li)－強度(du)(du)模型(xing)中(zhong)強度(du)(du)大于應(ying)力(li)的概(gai)率即為可(ke)靠(kao)度(du)(du)。可(ke)靠(kao)度(du)(du)P可(ke)根據(ju)下式計(ji)算

  從計算結果(guo)可以看出，失(shi)效概率遠小于(yu)干涉面積之和。

2. 數值解析法

  當隨(sui)機(ji)變(bian)量(liang)(liang)較(jiao)多(duo)(duo)時，直接求(qiu)解失(shi)效概(gai)率(lv)值(zhi)是(shi)很困(kun)難(nan)的(de)(de)，采用(yong)數值(zhi)求(qiu)解是(shi)一種比(bi)較(jiao)好的(de)(de)解決方(fang)法(fa)。在(zai)應力腐蝕概(gai)率(lv)計算中(zhong)，涉及的(de)(de)隨(sui)機(ji)變(bian)量(liang)(liang)較(jiao)多(duo)(duo)且具(ju)有不(bu)同(tong)的(de)(de)分布類型，結果難(nan)以用(yong)解析法(fa)和近(jin)似法(fa)求(qiu)解，可以采用(yong)蒙特卡洛（Monte-Carlo)模擬法(fa)。Monte-Carlo模擬法(fa)的(de)(de)特點(dian)是(shi)：①. 受(shou)研究問題維(wei)數的(de)(de)影響(xiang)較(jiao)小；②. 不(bu)受(shou)假設(she)約束；③. 不(bu)存(cun)在(zai)狀(zhuang)態(tai)空間爆炸問題；④. 不(bu)受(shou)變(bian)量(liang)(liang)數量(liang)(liang)的(de)(de)影響(xiang)。因此，Monte-Carlo法(fa)是(shi)一種處(chu)理高維(wei)動態(tai)失(shi)效概(gai)率(lv)問題的(de)(de)方(fang)法(fa)。

  蒙(meng)特卡洛模擬(ni)法(fa)又稱為隨機模擬(ni)法(fa)，基本思想是：