隨機變量模型(xing)和隨機過(guo)程模型(xing)是研究(jiu)在線亞洲日產一區二區:應力腐蝕概率的常用模(mo)型，本(ben)章重(zhong)點介紹(shao)隨機變量模(mo)型。

一、應力-強度干涉(she)模型(xing)

 1942年，Pugsley提(ti)出了采(cai)用(yong)應(ying)(ying)力(li)、強(qiang)度分(fen)布函(han)數曲線的(de)干涉區面積分(fen)析失效(xiao)概率(lv)的(de)方法(fa)，即應(ying)(ying)力(li)－強(qiang)度干涉模(mo)(mo)型(xing)，該(gai)模(mo)(mo)型(xing)在(zai)構(gou)件和系統的(de)可(ke)靠(kao)性(xing)分(fen)析中得到了廣(guang)(guang)泛應(ying)(ying)用(yong)。目前，已成為分(fen)析構(gou)件和系統失效(xiao)概率(lv)的(de)重要模(mo)(mo)型(xing)之一(yi)。在(zai)結(jie)構(gou)可(ke)靠(kao)性(xing)分(fen)析中，應(ying)(ying)力(li)－強(qiang)度（S-R)干涉模(mo)(mo)型(xing)應(ying)(ying)用(yong)最廣(guang)(guang)，模(mo)(mo)型(xing)中的(de)S和R的(de)含義不僅僅是力(li)學分(fen)析中的(de)應(ying)(ying)力(li)和強(qiang)度，二(er)者具(ju)有(you)更廣(guang)(guang)泛的(de)范疇。對于一(yi)個(ge)系統而言，S指的(de)是造成結(jie)構(gou)破壞(huai)的(de)所有(you)因(yin)素，即推動(dong)力(li)；R代表(biao)了結(jie)構(gou)抵(di)抗(kang)破壞(huai)的(de)能(neng)力(li)，即阻(zu)抗(kang)力(li)。

  應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)蝕斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)是(shi)一(yi)種低(di)(di)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)脆斷(duan)(duan)，是(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)和(he)腐(fu)蝕兩種機(ji)理(li)相(xiang)互(hu)影響的(de)(de)(de)(de)結(jie)(jie)果(guo)。因(yin)此，當應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)還遠低(di)(di)于斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)時就能引(yin)起應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)蝕裂(lie)(lie)紋的(de)(de)(de)(de)產(chan)生(sheng)和(he)擴(kuo)展(zhan)。應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)作用降低(di)(di)了材料(liao)的(de)(de)(de)(de)耐腐(fu)蝕性(xing)能，而(er)腐(fu)蝕降低(di)(di)了材料(liao)的(de)(de)(de)(de)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)強(qiang)度，兩者是(shi)互(hu)相(xiang)促(cu)進(jin)的(de)(de)(de)(de)。也(ye)就是(shi)說，機(ji)械力(li)(li)(li)(li)和(he)化學力(li)(li)(li)(li)的(de)(de)(de)(de)協同作用導(dao)致了裂(lie)(lie)紋的(de)(de)(de)(de)擴(kuo)展(zhan)，如果(guo)只有應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)或腐(fu)蝕單獨(du)作用，是(shi)不會出現應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)蝕斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)結(jie)(jie)果(guo)。應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)蝕斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)要經過(guo)一(yi)定的(de)(de)(de)(de)時間(jian)才能發(fa)生(sheng)，這(zhe)是(shi)因(yin)為(wei)能量積蓄到使材料(liao)破(po)壞的(de)(de)(de)(de)程度是(shi)需要時間(jian)的(de)(de)(de)(de)，應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)蝕是(shi)使材料(liao)強(qiang)度逐漸退化的(de)(de)(de)(de)過(guo)程，因(yin)此，我們可(ke)以(yi)采(cai)用耐久(jiu)性(xing)損傷模型來(lai)描述應(ying)(ying)力(li)(li)(li)(li)腐(fu)蝕失效的(de)(de)(de)(de)物(wu)理(li)過(guo)程。由S-R干涉(she)模型的(de)(de)(de)(de)理(li)論可(ke)以(yi)寫(xie)出結(jie)(jie)構的(de)(de)(de)(de)極限(xian)狀態方程

  因(yin)此，對于失效概率的(de)研究(jiu)就轉化為對強度和(he)應力(li)由于概率分布干涉引起的(de)狀態失效問題的(de)研究(jiu)。當fs(s)和(he)fR(r)分別表示應力(li)和(he)強度的(de)概率密度函數時，圖(tu)中兩者重疊部分面積反映了(le)失效概率的(de)大小(xiao)，如圖(tu)6-1所示。

  假如(ru)最初(chu)應力(li)與(yu)強(qiang)度是(shi)留有充分的(de)(de)安全(quan)余(yu)量的(de)(de)，那么(me)經過(guo)一(yi)定時間后，隨著應力(li)分布(bu)與(yu)強(qiang)度分布(bu)的(de)(de)交(jiao)疊，就(jiu)有失(shi)效發生，這種情形可以說是(shi)耐久模(mo)型的(de)(de)典型例子(zi)。根據應力(li)－強(qiang)度干涉模(mo)型不(bu)但能夠求解應力(li)腐(fu)蝕(shi)失(shi)效概率，還(huan)可以分析應力(li)腐(fu)蝕(shi)不(bu)同(tong)階段的(de)(de)概率情況(kuang)，如(ru)裂(lie)紋的(de)(de)萌生概率、裂(lie)紋的(de)(de)擴(kuo)展概率等(deng)。

  當材料發生(sheng)腐蝕(shi)(shi)后(hou)，隨(sui)著(zhu)時(shi)間(jian)(jian)的(de)(de)推移，材料抵(di)抗破(po)壞的(de)(de)能力降低(di)，而腐蝕(shi)(shi)環境很可(ke)能變(bian)(bian)得更加苛刻(ke)。例如應(ying)力腐蝕(shi)(shi)，隨(sui)著(zhu)裂紋的(de)(de)擴展，材料強(qiang)度(du)(du)降低(di)、裂紋尖端應(ying)力集(ji)中(zhong)區域增大，局(ju)部存(cun)在侵蝕(shi)(shi)性離子(zi)的(de)(de)富(fu)集(ji)，使得廣義應(ying)力變(bian)(bian)大而強(qiang)度(du)(du)降低(di)，此(ci)時(shi)S(t)和(he)R(t)都是(shi)與時(shi)間(jian)(jian)有關(guan)的(de)(de)變(bian)(bian)量，很顯(xian)然，概率密度(du)(du)函數也(ye)著(zhu)時(shi)間(jian)(jian)的(de)(de)變(bian)(bian)化而變(bian)(bian)化。當強(qiang)度(du)(du)隨(sui)時(shi)間(jian)(jian)發生(sheng)衰退時(shi)，強(qiang)度(du)(du)和(he)應(ying)力組成的(de)(de)干涉區域隨(sui)時(shi)間(jian)(jian)變(bian)(bian)化會越來越大，這意(yi)味(wei)著(zhu)產品可(ke)靠性在降低(di)。

  大多數參數的不(bu)確定性與時間(jian)有(you)關。發生(sheng)應(ying)力腐蝕時，構(gou)件(jian)所(suo)受的廣(guang)義應(ying)力一(yi)般是隨機過程，應(ying)力稱為時間(jian)的函數，強度(du)為一(yi)固定的臨(lin)界值，如圖6-2所(suo)示，功能函數應(ying)表示為

二(er)、應(ying)力腐(fu)蝕參數的(de)概率分(fen)布估計

1. 變量分(fen)布類型(xing)確(que)定

  采用(yong)(yong)S-R模(mo)型(xing)(xing)分(fen)析應力腐(fu)(fu)蝕失(shi)效概(gai)率(lv)(lv)時，第一步(bu)是確定應力腐(fu)(fu)蝕的(de)(de)“推(tui)動力”，即S所包(bao)(bao)含(han)的(de)(de)參數，包(bao)(bao)括溫度、侵蝕性離子濃度、pH值(zhi)(zhi)等，分(fen)析各參數的(de)(de)分(fen)布(bu)(bu)(bu)概(gai)型(xing)(xing)。在進行參數的(de)(de)概(gai)率(lv)(lv)分(fen)布(bu)(bu)(bu)類型(xing)(xing)研究中，一般經過以下(xia)步(bu)驟：①. 假設隨機變量(liang)服從某一分(fen)布(bu)(bu)(bu)；②. 在假設分(fen)布(bu)(bu)(bu)基礎(chu)上構建統(tong)(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)；③. 根據統(tong)(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)的(de)(de)分(fen)布(bu)(bu)(bu)做出統(tong)(tong)(tong)計(ji)(ji)推(tui)斷，進行擬合(he)檢驗；④. 選擇最(zui)優概(gai)型(xing)(xing)。常用(yong)(yong)的(de)(de)統(tong)(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)包(bao)(bao)括均(jun)值(zhi)(zhi)、標(biao)準差、極差、變異(yi)系數、偏度等。正態(tai)分(fen)布(bu)(bu)(bu)、威布(bu)(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)布(bu)(bu)(bu)、指數分(fen)布(bu)(bu)(bu)以及Poisson分(fen)布(bu)(bu)(bu)等都是應力腐(fu)(fu)蝕概(gai)率(lv)(lv)分(fen)析中經常用(yong)(yong)到的(de)(de)隨機變量(liang)的(de)(de)概(gai)率(lv)(lv)分(fen)布(bu)(bu)(bu)類型(xing)(xing)。

通常(chang)(chang)，直接計算概(gai)率的密度(du)函數(shu)難度(du)非常(chang)(chang)大，常(chang)(chang)用(yong)的處理方法是把概(gai)率密度(du)估(gu)計轉化為(wei)參數(shu)估(gu)計問(wen)題。因此概(gai)率密度(du)函數(shu)的確(que)定是關鍵(jian)，正確(que)的密度(du)函數(shu)是獲得準確(que)估(gu)計值的重要前(qian)提。

2. 參(can)數的估計和假設檢(jian)驗

由于正態分(fen)(fen)(fen)布情況發生(sheng)的(de)(de)(de)比較多，因此，以(yi)正態分(fen)(fen)(fen)布為例(li)加以(yi)說明。參(can)數(shu)估(gu)(gu)計(ji)(ji)的(de)(de)(de)思路是采用樣(yang)本統(tong)計(ji)(ji)量估(gu)(gu)計(ji)(ji)總體參(can)數(shu)。常用的(de)(de)(de)參(can)數(shu)估(gu)(gu)計(ji)(ji)方法(fa)有矩(ju)估(gu)(gu)計(ji)(ji)法(fa)和最(zui)大(da)（極大(da)）似(si)然法(fa)，除此之外，還有最(zui)小二乘、貝葉斯估(gu)(gu)計(ji)(ji)等方法(fa)。矩(ju)估(gu)(gu)計(ji)(ji)法(fa)不受變(bian)量分(fen)(fen)(fen)布的(de)(de)(de)影(ying)(ying)響，這也恰恰成為該方法(fa)的(de)(de)(de)缺(que)點，即變(bian)量的(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布信息(xi)不能被充(chong)分(fen)(fen)(fen)利用，一(yi)般具有多個分(fen)(fen)(fen)析結(jie)果。與(yu)矩(ju)估(gu)(gu)計(ji)(ji)法(fa)相反(fan)，最(zui)大(da)似(si)然法(fa)的(de)(de)(de)使用受已知(zhi)變(bian)量概(gai)型(xing)的(de)(de)(de)影(ying)(ying)響，必須在(zai)已知(zhi)概(gai)型(xing)的(de)(de)(de)前提下(xia)才能使用，而且假設的(de)(de)(de)概(gai)率模型(xing)正確性(xing)對參(can)數(shu)估(gu)(gu)計(ji)(ji)結(jie)果影(ying)(ying)響很(hen)大(da)。最(zui)大(da)似(si)然估(gu)(gu)計(ji)(ji)法(fa)具有計(ji)(ji)算(suan)簡單、收斂型(xing)好(hao)等特點，在(zai)參(can)數(shu)估(gu)(gu)計(ji)(ji)中的(de)(de)(de)應用更加廣泛，其主要計(ji)(ji)算(suan)步(bu)驟(zou)如下(xia)：

  式（6-10)稱為(wei)似(si)然(ran)方(fang)程組，求(qiu)解該方(fang)程組，得出(chu)均(jun)值、方(fang)差(cha)最大似(si)然(ran)估計值

  以上過(guo)程是參數(shu)(shu)估計，下面對參數(shu)(shu)假設(she)(she)檢(jian)(jian)驗(yan)。與參數(shu)(shu)估計的目的相同，參數(shu)(shu)假設(she)(she)檢(jian)(jian)驗(yan)也是根(gen)據樣本信息(xi)對總體的數(shu)(shu)量特征進(jin)行(xing)推斷。

  假(jia)設(she)檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)是以樣本資(zi)料對總體的(de)(de)先驗(yan)(yan)(yan)假(jia)設(she)是否成立(li)，根據樣本的(de)(de)統計量(liang)(liang)檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)假(jia)設(she)的(de)(de)總體參數的(de)(de)可靠(kao)度，同時做出判斷結(jie)果，判斷結(jie)果包括(kuo)接受和拒絕。分析過程是：①. 提(ti)出原(yuan)假(jia)設(she)（要求(qiu)檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)的(de)(de)假(jia)設(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)設(she)（如果原(yuan)假(jia)設(she)不成立(li)，就要接受另一(yi)個假(jia)設(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)(de)檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)統計量(liang)(liang)；③. 計算觀測(ce)(ce)值(zhi)；④. 確定顯(xian)著性(xing)水平(ping)；⑤. 依據檢(jian)驗(yan)(yan)(yan)統計量(liang)(liang)觀測(ce)(ce)值(zhi)的(de)(de)位置(zhi)給出判斷結(jie)果。

在以上分析(xi)過程中(zhong)，可(ke)能會犯(fan)(fan)兩類(lei)錯(cuo)(cuo)誤：當H0為(wei)真(zhen)時而(er)拒絕H0,稱(cheng)為(wei)第(di)一類(lei)錯(cuo)(cuo)誤；當H0為(wei)假時而(er)接受(shou)H0,稱(cheng)為(wei)第(di)二類(lei)錯(cuo)(cuo)誤。犯(fan)(fan)兩類(lei)錯(cuo)(cuo)誤的(de)概(gai)率通常是矛盾的(de)：一個概(gai)率小(xiao)了(le)另一個概(gai)率就大。在實際使用中(zhong)，我(wo)們一般限定犯(fan)(fan)第(di)一類(lei)錯(cuo)(cuo)誤的(de)概(gai)率不超過給(gei)定的(de)α,使犯(fan)(fan)第(di)二類(lei)錯(cuo)(cuo)誤的(de)概(gai)率就可(ke)能小(xiao)。在正態總(zong)體參數的(de)假設(she)檢(jian)驗(yan)中(zhong)，主(zhu)要包括均值(zhi)的(de)U檢(jian)驗(yan)和(he)t檢(jian)驗(yan)、方(fang)差(cha)的(de)χ2檢(jian)驗(yan)等。

3. 分布的假設(she)檢驗(yan)

  上一(yi)小節介(jie)(jie)紹(shao)的(de)(de)是(shi)在總(zong)體(ti)(ti)分(fen)布(bu)已知的(de)(de)情況(kuang)下，對分(fen)布(bu)中(zhong)的(de)(de)一(yi)些未知參數進(jin)行檢(jian)(jian)驗(yan)。但是(shi)，很多(duo)時候并不知道總(zong)體(ti)(ti)的(de)(de)分(fen)布(bu)規律，我們往往是(shi)根(gen)據樣本來假設(she)總(zong)體(ti)(ti)的(de)(de)分(fen)布(bu)類型，因此(ci)，對于總(zong)體(ti)(ti)樣本所假設(she)的(de)(de)分(fen)布(bu)是(shi)否正確(que)，還需要檢(jian)(jian)驗(yan)，常(chang)用(yong)的(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)(jian)驗(yan)方法(fa)，其中(zhong)χ2檢(jian)(jian)驗(yan)應(ying)用(yong)較多(duo)，下面以(yi)這種方法(fa)為例，介(jie)(jie)紹(shao)檢(jian)(jian)驗(yan)過程(cheng)。

  χ2檢驗法的(de)分(fen)析過程是：①. 提出原假(jia)設；②. 檢驗假(jia)設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干(gan)個(ge)互(hu)不相交的(de)小區(qu)間(jian)把樣本數據進行分(fen)組，通常每個(ge)區(qu)間(jian)的(de)數據不少于(yu)5個(ge)，若不滿(man)足這一要求，可以通過合并區(qu)間(jian)來達到這一要求。假(jia)設H0成立(li)，根(gen)據分(fen)組結(jie)果(guo)計(ji)算χ2檢驗統(tong)計(ji)量

4. 主(zhu)要參數的概率分布

 根據(ju)(ju)以上(shang)分(fen)析(xi)(xi)步驟，對應力腐蝕環境中的離(li)子(zi)濃度的統計性進行分(fen)析(xi)(xi)。數(shu)據(ju)(ju)來自某石化企業的監測數(shu)據(ju)(ju)。頻率直方圖要將樣本(ben)值(zhi)分(fen)為r個(ge)不相(xiang)交的區間，r值(zhi)可(ke)由(you) Sturges公(gong)式確定，并取整數(shu)。r值(zhi)取決于樣本(ben)數(shu)n。

  首(shou)先，假設(she)各參(can)數(shu)服從正態(tai)分布，并畫出正態(tai)分布的密度函數(shu)曲線，該計算(suan)(suan)采用matlab編程完成(cheng)，計算(suan)(suan)結果如(ru)圖6-3所(suo)示。

  從圖6-3可以看出，pH、氯離子濃度(du)和(he)硫酸根(gen)離子濃度(du)滿足(zu)正(zheng)態分(fen)布，而亞(ya)硫酸根(gen)離子濃度(du)不(bu)滿足(zu)正(zheng)態分(fen)布，經過(guo)分(fen)析，認(ren)為滿足(zu)威布爾分(fen)布，如圖6-4所示(shi)。

  經過卡方檢驗(yan)，在顯著性水平0.05下，可(ke)以(yi)認為：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服(fu)從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離(li)子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯(lv)離子(zi)濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞(ya)硫酸根離(li)子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布爾(er)分布。

  亞硫酸(suan)根(gen)離子濃度服從(cong)威(wei)布爾(er)分(fen)布的原(yuan)因(yin)：亞硫酸(suan)根(gen)不穩定(ding)，與氫離子反應，從(cong)而濃度逐(zhu)漸減小。

三(san)、失效概率計算方法

1. 解析法

  當應力(li)和(he)強(qiang)度(du)是比較簡單的變量時(shi)，式（6-4)可以直(zhi)接(jie)計算失(shi)效(xiao)概(gai)率(lv)(lv)。在一些研究中，會出現“干(gan)涉面(mian)積＝失(shi)效(xiao)概(gai)率(lv)(lv)”的說法(fa)(fa)，這種說法(fa)(fa)是不(bu)正確的。根(gen)據可靠(kao)(kao)性(xing)理(li)論可知(zhi)，應力(li)－強(qiang)度(du)模型中強(qiang)度(du)大(da)于應力(li)的概(gai)率(lv)(lv)即為(wei)可靠(kao)(kao)度(du)。可靠(kao)(kao)度(du)P可根(gen)據下式計算

  從計算結果可以看出，失效概率遠小(xiao)于干涉面積(ji)之(zhi)和。

2. 數值解析法(fa)

  當(dang)隨機變量較(jiao)多(duo)時(shi)，直接求(qiu)(qiu)解失(shi)效概率值是很(hen)困難的，采(cai)用數值求(qiu)(qiu)解是一種比較(jiao)好的解決方法(fa)。在應力腐蝕概率計(ji)算中，涉(she)及的隨機變量較(jiao)多(duo)且具(ju)有不(bu)同的分(fen)布類型，結果(guo)難以用解析(xi)法(fa)和近似法(fa)求(qiu)(qiu)解，可以采(cai)用蒙特卡洛(luo)（Monte-Carlo)模擬(ni)法(fa)。Monte-Carlo模擬(ni)法(fa)的特點是：①. 受研究問題維數的影(ying)響較(jiao)小；②. 不(bu)受假設(she)約(yue)束；③. 不(bu)存在狀態空間爆炸問題；④. 不(bu)受變量數量的影(ying)響。因(yin)此，Monte-Carlo法(fa)是一種處理高維動態失(shi)效概率問題的方法(fa)。

  蒙特卡洛模(mo)(mo)擬(ni)法又稱(cheng)為隨機模(mo)(mo)擬(ni)法，基本(ben)思想是：