隨(sui)機變量模(mo)型(xing)和隨(sui)機過程模(mo)型(xing)是研(yan)究在線亞洲日產一區二區:應力腐蝕概(gai)率的常用模型，本章重(zhong)點(dian)介紹隨機變量(liang)模型。

一、應力-強度干涉模型

 1942年，Pugsley提出(chu)了(le)采用(yong)應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)、強(qiang)度(du)分(fen)布(bu)函數曲線(xian)的(de)干涉(she)區面積分(fen)析(xi)失效概(gai)率的(de)方法，即應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)－強(qiang)度(du)干涉(she)模(mo)型(xing)(xing)，該(gai)模(mo)型(xing)(xing)在構(gou)(gou)件和系(xi)統(tong)的(de)可(ke)靠性(xing)分(fen)析(xi)中得到了(le)廣泛應(ying)(ying)(ying)(ying)用(yong)。目(mu)前(qian)，已成(cheng)為(wei)分(fen)析(xi)構(gou)(gou)件和系(xi)統(tong)失效概(gai)率的(de)重(zhong)要模(mo)型(xing)(xing)之一。在結(jie)構(gou)(gou)可(ke)靠性(xing)分(fen)析(xi)中，應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)－強(qiang)度(du)（S-R)干涉(she)模(mo)型(xing)(xing)應(ying)(ying)(ying)(ying)用(yong)最廣，模(mo)型(xing)(xing)中的(de)S和R的(de)含義(yi)不僅僅是力(li)學(xue)分(fen)析(xi)中的(de)應(ying)(ying)(ying)(ying)力(li)和強(qiang)度(du)，二者具有更廣泛的(de)范(fan)疇。對于一個系(xi)統(tong)而言，S指的(de)是造成(cheng)結(jie)構(gou)(gou)破壞的(de)所有因素，即推(tui)動力(li)；R代表(biao)了(le)結(jie)構(gou)(gou)抵(di)抗破壞的(de)能力(li)，即阻抗力(li)。

  應(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)裂是(shi)一種(zhong)低(di)應(ying)(ying)(ying)力(li)脆斷(duan)，是(shi)斷(duan)裂和腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)兩種(zhong)機(ji)理相(xiang)互影(ying)響的(de)(de)(de)結果(guo)。因此，當應(ying)(ying)(ying)力(li)還遠低(di)于斷(duan)裂應(ying)(ying)(ying)力(li)時(shi)就能引起應(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)裂紋的(de)(de)(de)產(chan)生和擴(kuo)展。應(ying)(ying)(ying)力(li)作用(yong)降低(di)了(le)(le)材料(liao)的(de)(de)(de)耐腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)性能，而腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)降低(di)了(le)(le)材料(liao)的(de)(de)(de)斷(duan)裂強度，兩者是(shi)互相(xiang)促(cu)進(jin)的(de)(de)(de)。也(ye)就是(shi)說，機(ji)械力(li)和化學力(li)的(de)(de)(de)協(xie)同作用(yong)導致了(le)(le)裂紋的(de)(de)(de)擴(kuo)展，如(ru)果(guo)只有應(ying)(ying)(ying)力(li)或腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)單獨(du)作用(yong)，是(shi)不會出現應(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)裂的(de)(de)(de)結果(guo)。應(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)斷(duan)裂要經(jing)過一定的(de)(de)(de)時(shi)間才能發生，這是(shi)因為能量積蓄到使(shi)材料(liao)破壞的(de)(de)(de)程(cheng)度是(shi)需要時(shi)間的(de)(de)(de)，應(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)是(shi)使(shi)材料(liao)強度逐(zhu)漸退化的(de)(de)(de)過程(cheng)，因此，我們可(ke)以采用(yong)耐久性損傷模(mo)型來(lai)描述應(ying)(ying)(ying)力(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)(shi)失(shi)效的(de)(de)(de)物理過程(cheng)。由(you)S-R干涉(she)模(mo)型的(de)(de)(de)理論(lun)可(ke)以寫出結構的(de)(de)(de)極限狀態方程(cheng)

  因此，對于(yu)失(shi)效概(gai)率的(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)就(jiu)轉(zhuan)化為對強(qiang)度(du)和應力由于(yu)概(gai)率分布干(gan)涉引起的(de)(de)狀態失(shi)效問題(ti)的(de)(de)研(yan)(yan)究(jiu)。當fs(s)和fR(r)分別(bie)表示應力和強(qiang)度(du)的(de)(de)概(gai)率密(mi)度(du)函數時，圖(tu)中兩者重疊部分面積反(fan)映了失(shi)效概(gai)率的(de)(de)大小，如圖(tu)6-1所示。

  假如(ru)最初應力與強度是留有充分(fen)(fen)的安全余量的，那么經過一(yi)定時間(jian)后，隨著應力分(fen)(fen)布與強度分(fen)(fen)布的交(jiao)疊，就有失(shi)效發生(sheng)(sheng)，這種情(qing)形可(ke)以(yi)說是耐久模型(xing)的典型(xing)例(li)子。根據應力－強度干涉(she)模型(xing)不但能夠求解應力腐蝕失(shi)效概(gai)(gai)率(lv)，還可(ke)以(yi)分(fen)(fen)析應力腐蝕不同階段的概(gai)(gai)率(lv)情(qing)況，如(ru)裂紋的萌生(sheng)(sheng)概(gai)(gai)率(lv)、裂紋的擴展概(gai)(gai)率(lv)等。

  當材(cai)(cai)(cai)料發生腐蝕后，隨著(zhu)(zhu)時(shi)間(jian)的(de)(de)推移，材(cai)(cai)(cai)料抵抗破(po)壞的(de)(de)能力(li)降(jiang)低，而(er)腐蝕環(huan)境很(hen)可能變(bian)(bian)得更加苛(ke)刻。例(li)如(ru)應(ying)(ying)(ying)力(li)腐蝕，隨著(zhu)(zhu)裂紋(wen)的(de)(de)擴展，材(cai)(cai)(cai)料強(qiang)(qiang)度(du)降(jiang)低、裂紋(wen)尖(jian)端應(ying)(ying)(ying)力(li)集中區域(yu)增大(da)，局部存在侵(qin)蝕性(xing)離(li)子的(de)(de)富集，使得廣義應(ying)(ying)(ying)力(li)變(bian)(bian)大(da)而(er)強(qiang)(qiang)度(du)降(jiang)低，此(ci)時(shi)S(t)和R(t)都(dou)是與時(shi)間(jian)有(you)關(guan)的(de)(de)變(bian)(bian)量(liang)，很(hen)顯然，概率密度(du)函數也著(zhu)(zhu)時(shi)間(jian)的(de)(de)變(bian)(bian)化(hua)而(er)變(bian)(bian)化(hua)。當強(qiang)(qiang)度(du)隨時(shi)間(jian)發生衰退時(shi)，強(qiang)(qiang)度(du)和應(ying)(ying)(ying)力(li)組成(cheng)的(de)(de)干(gan)涉區域(yu)隨時(shi)間(jian)變(bian)(bian)化(hua)會(hui)越來越大(da)，這意味(wei)著(zhu)(zhu)產(chan)品可靠(kao)性(xing)在降(jiang)低。

  大多數(shu)參數(shu)的不(bu)確(que)定性與時間有關(guan)。發生應力腐(fu)蝕時，構件所受(shou)的廣(guang)義(yi)應力一般是隨(sui)機過(guo)程，應力稱為時間的函數(shu)，強度為一固定的臨界(jie)值(zhi)，如圖6-2所示，功(gong)能函數(shu)應表(biao)示為

二、應力腐蝕參數的(de)概(gai)率分布估計(ji)

1. 變(bian)量(liang)分布(bu)類型確(que)定

  采用(yong)S-R模型分(fen)(fen)析應(ying)力腐蝕失(shi)效概(gai)(gai)(gai)率(lv)時，第(di)一步是確(que)定(ding)應(ying)力腐蝕的(de)(de)(de)“推動力”，即S所包(bao)含(han)的(de)(de)(de)參(can)數(shu)(shu)，包(bao)括溫度、侵(qin)蝕性離子濃度、pH值(zhi)等，分(fen)(fen)析各參(can)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)概(gai)(gai)(gai)型。在進(jin)行(xing)參(can)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)概(gai)(gai)(gai)率(lv)分(fen)(fen)布(bu)(bu)類(lei)(lei)型研究中，一般經(jing)過以下(xia)步驟：①. 假設隨機變(bian)(bian)量服(fu)從某一分(fen)(fen)布(bu)(bu)；②. 在假設分(fen)(fen)布(bu)(bu)基礎(chu)上構建統(tong)計(ji)量；③. 根據(ju)統(tong)計(ji)量的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)做出統(tong)計(ji)推斷，進(jin)行(xing)擬(ni)合檢驗；④. 選擇最優(you)概(gai)(gai)(gai)型。常(chang)用(yong)的(de)(de)(de)統(tong)計(ji)量包(bao)括均值(zhi)、標準差、極差、變(bian)(bian)異系數(shu)(shu)、偏(pian)度等。正態分(fen)(fen)布(bu)(bu)、威布(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)(fen)布(bu)(bu)、指數(shu)(shu)分(fen)(fen)布(bu)(bu)以及Poisson分(fen)(fen)布(bu)(bu)等都是應(ying)力腐蝕概(gai)(gai)(gai)率(lv)分(fen)(fen)析中經(jing)常(chang)用(yong)到的(de)(de)(de)隨機變(bian)(bian)量的(de)(de)(de)概(gai)(gai)(gai)率(lv)分(fen)(fen)布(bu)(bu)類(lei)(lei)型。

通常，直接計(ji)(ji)(ji)算(suan)概率(lv)的(de)密(mi)度函數(shu)難度非常大，常用的(de)處理方(fang)法是(shi)把概率(lv)密(mi)度估計(ji)(ji)(ji)轉化為參數(shu)估計(ji)(ji)(ji)問題。因此概率(lv)密(mi)度函數(shu)的(de)確(que)定是(shi)關鍵，正確(que)的(de)密(mi)度函數(shu)是(shi)獲得(de)準確(que)估計(ji)(ji)(ji)值的(de)重要前提。

2. 參(can)數(shu)的估計和假設檢驗

由于正(zheng)態(tai)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)情(qing)況發生的(de)(de)(de)比較多，因此(ci)，以正(zheng)態(tai)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)為例(li)加以說明。參(can)數估(gu)計(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)思路(lu)是采用樣本統計(ji)(ji)(ji)量(liang)估(gu)計(ji)(ji)(ji)總體參(can)數。常(chang)用的(de)(de)(de)參(can)數估(gu)計(ji)(ji)(ji)方法(fa)(fa)有(you)矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)和最(zui)大（極大）似然法(fa)(fa)，除此(ci)之外，還有(you)最(zui)小(xiao)二(er)乘、貝葉斯估(gu)計(ji)(ji)(ji)等(deng)方法(fa)(fa)。矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)不受(shou)變量(liang)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)的(de)(de)(de)影響(xiang)，這(zhe)也恰(qia)恰(qia)成(cheng)為該方法(fa)(fa)的(de)(de)(de)缺點(dian)(dian)，即變量(liang)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)(fen)布(bu)信息不能被充(chong)分(fen)(fen)(fen)(fen)利用，一般具有(you)多個分(fen)(fen)(fen)(fen)析結果。與矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)相反，最(zui)大似然法(fa)(fa)的(de)(de)(de)使(shi)用受(shou)已(yi)知變量(liang)概型(xing)的(de)(de)(de)影響(xiang)，必須在(zai)已(yi)知概型(xing)的(de)(de)(de)前(qian)提下才能使(shi)用，而(er)且(qie)假設的(de)(de)(de)概率模型(xing)正(zheng)確性對參(can)數估(gu)計(ji)(ji)(ji)結果影響(xiang)很大。最(zui)大似然估(gu)計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)具有(you)計(ji)(ji)(ji)算簡單、收斂型(xing)好等(deng)特(te)點(dian)(dian)，在(zai)參(can)數估(gu)計(ji)(ji)(ji)中的(de)(de)(de)應用更(geng)加廣泛，其主要計(ji)(ji)(ji)算步驟如下：

  式（6-10)稱為似(si)然方(fang)程(cheng)組，求解該方(fang)程(cheng)組，得出均值、方(fang)差(cha)最(zui)大似(si)然估(gu)計(ji)值

  以上過程(cheng)是(shi)參數估(gu)計，下面對(dui)參數假設檢(jian)驗。與(yu)參數估(gu)計的目的相(xiang)同，參數假設檢(jian)驗也是(shi)根(gen)據(ju)樣本信息對(dui)總(zong)體(ti)的數量特征進行推(tui)斷。

  假(jia)設(she)(she)檢驗是以樣本資料對(dui)總體(ti)(ti)的先驗假(jia)設(she)(she)是否成(cheng)立，根據樣本的統計量檢驗假(jia)設(she)(she)的總體(ti)(ti)參數的可靠度，同時做出判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)，判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)包括接(jie)受(shou)(shou)和拒絕。分析過程是：①. 提出原假(jia)設(she)(she)（要求檢驗的假(jia)設(she)(she)）H0 :F(x)=F0(x)和備(bei)選假(jia)設(she)(she)（如果(guo)(guo)原假(jia)設(she)(she)不成(cheng)立，就要接(jie)受(shou)(shou)另一個(ge)假(jia)設(she)(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取(qu)恰當的檢驗統計量；③. 計算觀(guan)測值；④. 確定顯著性水平；⑤. 依據檢驗統計量觀(guan)測值的位(wei)置給出判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)。

在以上(shang)分析過(guo)程(cheng)中，可(ke)能會犯兩(liang)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)：當H0為(wei)(wei)真時而拒絕(jue)H0,稱(cheng)為(wei)(wei)第(di)一(yi)(yi)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)；當H0為(wei)(wei)假時而接受H0,稱(cheng)為(wei)(wei)第(di)二(er)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)。犯兩(liang)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)概(gai)(gai)率(lv)通(tong)常是矛(mao)盾的(de)：一(yi)(yi)個(ge)(ge)概(gai)(gai)率(lv)小了(le)另一(yi)(yi)個(ge)(ge)概(gai)(gai)率(lv)就(jiu)大。在實際(ji)使用中，我(wo)們一(yi)(yi)般限定犯第(di)一(yi)(yi)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)概(gai)(gai)率(lv)不超過(guo)給定的(de)α,使犯第(di)二(er)類(lei)(lei)錯(cuo)誤(wu)(wu)(wu)的(de)概(gai)(gai)率(lv)就(jiu)可(ke)能小。在正態總體(ti)參(can)數的(de)假設檢(jian)(jian)(jian)驗中，主要包括均值(zhi)的(de)U檢(jian)(jian)(jian)驗和t檢(jian)(jian)(jian)驗、方差的(de)χ2檢(jian)(jian)(jian)驗等。

3. 分布(bu)的(de)假設檢驗

  上一小節介(jie)紹的(de)(de)是在總(zong)體(ti)分(fen)(fen)布(bu)(bu)已知(zhi)的(de)(de)情況下，對分(fen)(fen)布(bu)(bu)中的(de)(de)一些未知(zhi)參數進行檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)。但是，很多時候并不知(zhi)道總(zong)體(ti)的(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)規律，我(wo)們(men)往往是根據樣本(ben)來(lai)假設總(zong)體(ti)的(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)類型，因(yin)此(ci)，對于總(zong)體(ti)樣本(ben)所假設的(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)是否正(zheng)確(que)，還需要(yao)檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)，常(chang)用的(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)方法，其中χ2檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)應(ying)用較多，下面以這種方法為例，介(jie)紹檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)過程(cheng)。

  χ2檢(jian)驗法的(de)(de)分(fen)析(xi)過(guo)(guo)程(cheng)是：①. 提(ti)出原假設；②. 檢(jian)驗假設H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用(yong)若(ruo)干(gan)個(ge)互不相交(jiao)的(de)(de)小區(qu)(qu)間把樣本數(shu)據進行分(fen)組，通(tong)常每個(ge)區(qu)(qu)間的(de)(de)數(shu)據不少(shao)于5個(ge)，若(ruo)不滿足這(zhe)一(yi)要求(qiu)，可以通(tong)過(guo)(guo)合并區(qu)(qu)間來達(da)到這(zhe)一(yi)要求(qiu)。假設H0成立，根據分(fen)組結(jie)果計(ji)(ji)算χ2檢(jian)驗統計(ji)(ji)量

4. 主要(yao)參數(shu)的概率(lv)分(fen)布

 根(gen)據(ju)以上分(fen)(fen)析(xi)(xi)步驟，對應力腐蝕環境(jing)中(zhong)的(de)離子濃度的(de)統計性(xing)進(jin)行分(fen)(fen)析(xi)(xi)。數據(ju)來自某石化企業的(de)監測(ce)數據(ju)。頻率直方圖要將(jiang)樣(yang)本值(zhi)分(fen)(fen)為r個不相交(jiao)的(de)區(qu)間，r值(zhi)可由 Sturges公(gong)式(shi)確定，并取(qu)整(zheng)數。r值(zhi)取(qu)決于樣(yang)本數n。

  首先，假設(she)各參數(shu)服從正態(tai)分布，并(bing)畫出正態(tai)分布的(de)密(mi)度函(han)數(shu)曲線，該計算采用(yong)matlab編(bian)程完成，計算結果如(ru)圖6-3所示。

  從圖6-3可以看出，pH、氯離(li)子濃(nong)度和硫酸根離(li)子濃(nong)度滿足(zu)正(zheng)態分(fen)(fen)布(bu)，而亞(ya)硫酸根離(li)子濃(nong)度不(bu)滿足(zu)正(zheng)態分(fen)(fen)布(bu)，經(jing)過分(fen)(fen)析，認為滿足(zu)威布(bu)爾分(fen)(fen)布(bu)，如圖6-4所示。

  經(jing)過卡方檢驗，在顯著性(xing)水平0.05下，可以(yi)認為：

  溫度服從(cong)N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫(liu)酸根離子濃度服(fu)從N(143.5204,9.48592);

  氯(lv)離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞硫酸(suan)根離子濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布爾(er)分(fen)布。

  亞(ya)硫(liu)酸根離子(zi)濃度服從(cong)威布(bu)爾分布(bu)的原因：亞(ya)硫(liu)酸根不(bu)穩定，與氫(qing)離子(zi)反應，從(cong)而濃度逐漸減小(xiao)。

三、失效概(gai)率計算方法

1. 解析法

  當應力(li)和強度是比較簡單的(de)變量時，式（6-4)可(ke)(ke)以直接計算(suan)失(shi)效(xiao)概率(lv)。在一(yi)些研究中，會(hui)出現“干涉面積＝失(shi)效(xiao)概率(lv)”的(de)說法，這種說法是不正(zheng)確的(de)。根(gen)據可(ke)(ke)靠性理(li)論可(ke)(ke)知，應力(li)－強度模型中強度大于(yu)應力(li)的(de)概率(lv)即為可(ke)(ke)靠度。可(ke)(ke)靠度P可(ke)(ke)根(gen)據下式計算(suan)

  從計算結果可以看出(chu)，失(shi)效概(gai)率遠(yuan)小(xiao)于干涉(she)面積之(zhi)和(he)。

2. 數值解析法

  當(dang)隨機變量(liang)(liang)較(jiao)(jiao)多時，直接求解失(shi)效概率值是(shi)(shi)很困難的(de)，采用(yong)數(shu)(shu)值求解是(shi)(shi)一種比(bi)較(jiao)(jiao)好的(de)解決方(fang)法。在(zai)應(ying)力腐蝕(shi)概率計算中(zhong)，涉及的(de)隨機變量(liang)(liang)較(jiao)(jiao)多且具有不同(tong)的(de)分布類型，結果難以用(yong)解析法和近似法求解，可以采用(yong)蒙特卡(ka)洛（Monte-Carlo)模(mo)擬(ni)法。Monte-Carlo模(mo)擬(ni)法的(de)特點是(shi)(shi)：①. 受(shou)研究問(wen)題(ti)維數(shu)(shu)的(de)影響較(jiao)(jiao)小；②. 不受(shou)假設約束；③. 不存在(zai)狀態(tai)空間(jian)爆炸(zha)問(wen)題(ti)；④. 不受(shou)變量(liang)(liang)數(shu)(shu)量(liang)(liang)的(de)影響。因此，Monte-Carlo法是(shi)(shi)一種處(chu)理高維動態(tai)失(shi)效概率問(wen)題(ti)的(de)方(fang)法。

  蒙特卡洛(luo)模擬(ni)法又稱為隨機模擬(ni)法，基本思(si)想是：