隨機(ji)變量模(mo)型和隨機(ji)過程模(mo)型是研究在線亞洲日產一區二區:應力腐蝕概率的常(chang)用模(mo)型(xing)，本(ben)章(zhang)重點介(jie)紹(shao)隨機變量模(mo)型(xing)。

一、應力-強度干涉(she)模型

 1942年，Pugsley提出了(le)(le)采(cai)用應(ying)力(li)(li)、強(qiang)度(du)分(fen)(fen)布函數曲線的(de)干涉(she)區面積分(fen)(fen)析失效概率(lv)的(de)方法，即(ji)應(ying)力(li)(li)－強(qiang)度(du)干涉(she)模(mo)型(xing)，該模(mo)型(xing)在構(gou)(gou)件和(he)系統的(de)可靠性分(fen)(fen)析中(zhong)(zhong)得到了(le)(le)廣泛(fan)應(ying)用。目前，已成為分(fen)(fen)析構(gou)(gou)件和(he)系統失效概率(lv)的(de)重(zhong)要模(mo)型(xing)之(zhi)一。在結(jie)構(gou)(gou)可靠性分(fen)(fen)析中(zhong)(zhong)，應(ying)力(li)(li)－強(qiang)度(du)（S-R)干涉(she)模(mo)型(xing)應(ying)用最廣，模(mo)型(xing)中(zhong)(zhong)的(de)S和(he)R的(de)含義不(bu)僅僅是(shi)力(li)(li)學分(fen)(fen)析中(zhong)(zhong)的(de)應(ying)力(li)(li)和(he)強(qiang)度(du)，二者具(ju)有更廣泛(fan)的(de)范疇。對于一個(ge)系統而(er)言，S指的(de)是(shi)造(zao)成結(jie)構(gou)(gou)破(po)壞的(de)所有因素(su)，即(ji)推動力(li)(li)；R代表了(le)(le)結(jie)構(gou)(gou)抵(di)抗破(po)壞的(de)能力(li)(li)，即(ji)阻抗力(li)(li)。

  應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)是(shi)一(yi)種低(di)應(ying)(ying)力(li)(li)脆斷(duan)(duan)，是(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)和腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)兩種機理相(xiang)互影響(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果。因此(ci)，當應(ying)(ying)力(li)(li)還遠低(di)于斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)應(ying)(ying)力(li)(li)時就能(neng)引起應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)裂(lie)(lie)(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)產生和擴展(zhan)。應(ying)(ying)力(li)(li)作(zuo)(zuo)用(yong)降低(di)了(le)材料(liao)的(de)(de)(de)(de)(de)耐腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)性(xing)能(neng)，而腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)降低(di)了(le)材料(liao)的(de)(de)(de)(de)(de)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)強(qiang)度(du)，兩者是(shi)互相(xiang)促進的(de)(de)(de)(de)(de)。也就是(shi)說，機械力(li)(li)和化(hua)(hua)學力(li)(li)的(de)(de)(de)(de)(de)協同作(zuo)(zuo)用(yong)導(dao)致了(le)裂(lie)(lie)(lie)紋(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)擴展(zhan)，如(ru)果只有(you)應(ying)(ying)力(li)(li)或腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)單獨作(zuo)(zuo)用(yong)，是(shi)不(bu)會出(chu)現(xian)應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果。應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)(duan)裂(lie)(lie)(lie)要(yao)經(jing)過(guo)(guo)一(yi)定的(de)(de)(de)(de)(de)時間才能(neng)發生，這是(shi)因為能(neng)量積(ji)蓄到使材料(liao)破壞的(de)(de)(de)(de)(de)程(cheng)度(du)是(shi)需要(yao)時間的(de)(de)(de)(de)(de)，應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)是(shi)使材料(liao)強(qiang)度(du)逐漸退化(hua)(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)過(guo)(guo)程(cheng)，因此(ci)，我們可以(yi)采用(yong)耐久性(xing)損傷(shang)模(mo)型來描(miao)述應(ying)(ying)力(li)(li)腐(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)失效的(de)(de)(de)(de)(de)物理過(guo)(guo)程(cheng)。由S-R干涉模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)理論可以(yi)寫(xie)出(chu)結(jie)構的(de)(de)(de)(de)(de)極限狀態方程(cheng)

  因(yin)此，對于失效(xiao)(xiao)概(gai)率的(de)研(yan)(yan)究就轉化為(wei)對強(qiang)度和(he)(he)應(ying)力由于概(gai)率分布干涉引起的(de)狀態失效(xiao)(xiao)問題的(de)研(yan)(yan)究。當fs(s)和(he)(he)fR(r)分別表示應(ying)力和(he)(he)強(qiang)度的(de)概(gai)率密度函數(shu)時，圖(tu)(tu)中兩(liang)者重(zhong)疊部分面積反映了失效(xiao)(xiao)概(gai)率的(de)大小，如圖(tu)(tu)6-1所示。

  假(jia)如(ru)最初應(ying)力(li)(li)與強度是(shi)留有充(chong)分的(de)安(an)全余(yu)量的(de)，那(nei)么經過一定時間后，隨著應(ying)力(li)(li)分布與強度分布的(de)交疊(die)，就有失效(xiao)發生，這種情形可以(yi)說是(shi)耐久模(mo)型的(de)典型例子。根據應(ying)力(li)(li)－強度干涉模(mo)型不但(dan)能夠求解應(ying)力(li)(li)腐蝕(shi)失效(xiao)概(gai)率(lv)(lv)，還可以(yi)分析應(ying)力(li)(li)腐蝕(shi)不同階(jie)段的(de)概(gai)率(lv)(lv)情況(kuang)，如(ru)裂(lie)紋的(de)萌生概(gai)率(lv)(lv)、裂(lie)紋的(de)擴(kuo)展(zhan)概(gai)率(lv)(lv)等(deng)。

  當(dang)材(cai)料(liao)發生腐蝕(shi)后(hou)，隨(sui)著時(shi)(shi)(shi)間的(de)推移，材(cai)料(liao)抵抗破壞的(de)能力(li)降(jiang)低(di)，而腐蝕(shi)環境很(hen)(hen)可能變(bian)得(de)更加(jia)苛刻。例如應力(li)腐蝕(shi)，隨(sui)著裂紋(wen)(wen)的(de)擴展，材(cai)料(liao)強度降(jiang)低(di)、裂紋(wen)(wen)尖端應力(li)集(ji)中(zhong)區域增大，局部(bu)存在(zai)侵蝕(shi)性離子(zi)的(de)富集(ji)，使得(de)廣義(yi)應力(li)變(bian)大而強度降(jiang)低(di)，此時(shi)(shi)(shi)S(t)和(he)R(t)都是與時(shi)(shi)(shi)間有關的(de)變(bian)量，很(hen)(hen)顯(xian)然(ran)，概率密度函數也著時(shi)(shi)(shi)間的(de)變(bian)化(hua)而變(bian)化(hua)。當(dang)強度隨(sui)時(shi)(shi)(shi)間發生衰退時(shi)(shi)(shi)，強度和(he)應力(li)組成的(de)干涉區域隨(sui)時(shi)(shi)(shi)間變(bian)化(hua)會越來越大，這意味著產(chan)品可靠(kao)性在(zai)降(jiang)低(di)。

  大(da)多數(shu)參數(shu)的不確定性與(yu)時間有關。發生應(ying)力腐蝕時，構件所(suo)受的廣義應(ying)力一般是隨(sui)機過(guo)程，應(ying)力稱為(wei)時間的函數(shu)，強度為(wei)一固定的臨界值，如圖6-2所(suo)示，功能函數(shu)應(ying)表示為(wei)

二、應力腐(fu)蝕參數的概率分布估計(ji)

1. 變(bian)量分布類(lei)型確定(ding)

  采用S-R模型(xing)(xing)分(fen)(fen)析(xi)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐蝕(shi)失效概(gai)率時(shi)，第一(yi)步是確定(ding)應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐蝕(shi)的(de)(de)“推動力(li)(li)(li)”，即S所包含的(de)(de)參數(shu)，包括溫度、侵蝕(shi)性離子濃度、pH值等(deng)，分(fen)(fen)析(xi)各參數(shu)的(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)概(gai)型(xing)(xing)。在(zai)進行參數(shu)的(de)(de)概(gai)率分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)類型(xing)(xing)研究中，一(yi)般經(jing)過(guo)以下步驟(zou)：①. 假設隨機變量(liang)(liang)服從(cong)某(mou)一(yi)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)；②. 在(zai)假設分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)基礎上構建統(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)(liang)；③. 根據統(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)(liang)的(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)做出(chu)統(tong)(tong)計(ji)(ji)推斷，進行擬合檢(jian)驗；④. 選擇最(zui)優(you)概(gai)型(xing)(xing)。常(chang)用的(de)(de)統(tong)(tong)計(ji)(ji)量(liang)(liang)包括均值、標準差、極差、變異系(xi)數(shu)、偏度等(deng)。正(zheng)態(tai)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)、威布(bu)(bu)(bu)爾(er)（Weibull)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)、指(zhi)數(shu)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)以及Poisson分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)等(deng)都是應(ying)(ying)力(li)(li)(li)腐蝕(shi)概(gai)率分(fen)(fen)析(xi)中經(jing)常(chang)用到(dao)的(de)(de)隨機變量(liang)(liang)的(de)(de)概(gai)率分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)類型(xing)(xing)。

通常(chang)(chang)，直接計(ji)(ji)算概率的密(mi)(mi)度函(han)數(shu)難度非常(chang)(chang)大，常(chang)(chang)用(yong)的處理(li)方法(fa)是把概率密(mi)(mi)度估(gu)計(ji)(ji)轉化為參數(shu)估(gu)計(ji)(ji)問題(ti)。因此概率密(mi)(mi)度函(han)數(shu)的確(que)定是關(guan)鍵，正(zheng)確(que)的密(mi)(mi)度函(han)數(shu)是獲得準確(que)估(gu)計(ji)(ji)值(zhi)的重要(yao)前提。

2. 參數的估計和假設檢驗

由于正(zheng)態(tai)分(fen)(fen)布情況發生(sheng)的(de)(de)(de)比(bi)較多，因(yin)此(ci)，以正(zheng)態(tai)分(fen)(fen)布為例加(jia)以說明。參數(shu)(shu)(shu)估計(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)思路是采(cai)用(yong)(yong)樣本統計(ji)(ji)(ji)量(liang)估計(ji)(ji)(ji)總體(ti)參數(shu)(shu)(shu)。常(chang)用(yong)(yong)的(de)(de)(de)參數(shu)(shu)(shu)估計(ji)(ji)(ji)方法(fa)(fa)有矩估計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)和最(zui)大(da)（極大(da)）似(si)然法(fa)(fa)，除此(ci)之外，還(huan)有最(zui)小二乘(cheng)、貝葉斯估計(ji)(ji)(ji)等(deng)方法(fa)(fa)。矩估計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)不(bu)受(shou)變(bian)量(liang)分(fen)(fen)布的(de)(de)(de)影響(xiang)，這也恰恰成為該方法(fa)(fa)的(de)(de)(de)缺(que)點，即變(bian)量(liang)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布信(xin)息不(bu)能被(bei)充分(fen)(fen)利用(yong)(yong)，一般具有多個(ge)分(fen)(fen)析結果。與矩估計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)相反(fan)，最(zui)大(da)似(si)然法(fa)(fa)的(de)(de)(de)使用(yong)(yong)受(shou)已知變(bian)量(liang)概(gai)型的(de)(de)(de)影響(xiang)，必須(xu)在已知概(gai)型的(de)(de)(de)前提下(xia)才(cai)能使用(yong)(yong)，而且假(jia)設的(de)(de)(de)概(gai)率模型正(zheng)確性對參數(shu)(shu)(shu)估計(ji)(ji)(ji)結果影響(xiang)很大(da)。最(zui)大(da)似(si)然估計(ji)(ji)(ji)法(fa)(fa)具有計(ji)(ji)(ji)算簡(jian)單、收斂型好等(deng)特點，在參數(shu)(shu)(shu)估計(ji)(ji)(ji)中的(de)(de)(de)應用(yong)(yong)更加(jia)廣泛，其(qi)主(zhu)要計(ji)(ji)(ji)算步驟(zou)如下(xia)：

  式(shi)（6-10)稱為似(si)然方(fang)(fang)程組，求解(jie)該方(fang)(fang)程組，得出均(jun)值、方(fang)(fang)差最大似(si)然估計值

  以上過程是參(can)數估(gu)計(ji)，下(xia)面對參(can)數假設檢驗(yan)。與參(can)數估(gu)計(ji)的(de)(de)目的(de)(de)相(xiang)同，參(can)數假設檢驗(yan)也是根據樣本信息(xi)對總體的(de)(de)數量特征(zheng)進行推斷。

  假(jia)(jia)設檢驗是(shi)以樣本資料對(dui)總(zong)體(ti)的(de)先驗假(jia)(jia)設是(shi)否成立(li)，根據樣本的(de)統計(ji)(ji)量檢驗假(jia)(jia)設的(de)總(zong)體(ti)參數的(de)可(ke)靠度，同(tong)時做出(chu)判斷結果(guo)，判斷結果(guo)包(bao)括(kuo)接受和拒(ju)絕。分析過程是(shi)：①. 提出(chu)原(yuan)假(jia)(jia)設（要求檢驗的(de)假(jia)(jia)設）H0 :F(x)=F0(x)和備選假(jia)(jia)設（如果(guo)原(yuan)假(jia)(jia)設不(bu)成立(li)，就要接受另一個假(jia)(jia)設）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰當的(de)檢驗統計(ji)(ji)量；③. 計(ji)(ji)算觀測值；④. 確定(ding)顯著性水(shui)平；⑤. 依據檢驗統計(ji)(ji)量觀測值的(de)位置給出(chu)判斷結果(guo)。

在以上(shang)分析過程中，可(ke)能(neng)會犯(fan)(fan)兩類(lei)錯誤：當(dang)H0為(wei)真時而拒絕H0,稱為(wei)第(di)(di)一(yi)類(lei)錯誤；當(dang)H0為(wei)假(jia)時而接受H0,稱為(wei)第(di)(di)二類(lei)錯誤。犯(fan)(fan)兩類(lei)錯誤的(de)(de)概(gai)率通常是(shi)矛(mao)盾(dun)的(de)(de)：一(yi)個概(gai)率小了另一(yi)個概(gai)率就(jiu)大。在實際使用(yong)中，我們一(yi)般限定(ding)犯(fan)(fan)第(di)(di)一(yi)類(lei)錯誤的(de)(de)概(gai)率不超過給定(ding)的(de)(de)α,使犯(fan)(fan)第(di)(di)二類(lei)錯誤的(de)(de)概(gai)率就(jiu)可(ke)能(neng)小。在正態(tai)總(zong)體參數的(de)(de)假(jia)設檢(jian)(jian)驗(yan)中，主要包括均值的(de)(de)U檢(jian)(jian)驗(yan)和t檢(jian)(jian)驗(yan)、方差的(de)(de)χ2檢(jian)(jian)驗(yan)等。

3. 分布的假設檢(jian)驗

  上一小(xiao)節(jie)介紹(shao)的(de)(de)是(shi)在總(zong)體(ti)(ti)分(fen)(fen)(fen)布已知(zhi)(zhi)的(de)(de)情(qing)況下，對(dui)分(fen)(fen)(fen)布中的(de)(de)一些未知(zhi)(zhi)參數進行檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)(yan)。但是(shi)，很多時候并不知(zhi)(zhi)道(dao)總(zong)體(ti)(ti)的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布規律，我(wo)們往(wang)往(wang)是(shi)根據樣(yang)本來假設總(zong)體(ti)(ti)的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布類型(xing)，因此，對(dui)于總(zong)體(ti)(ti)樣(yang)本所假設的(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布是(shi)否(fou)正(zheng)確(que)，還需要檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)(yan)，常用的(de)(de)有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)(yan)方(fang)(fang)法(fa)，其中χ2檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)(yan)應用較多，下面以這種方(fang)(fang)法(fa)為例，介紹(shao)檢(jian)(jian)(jian)驗(yan)(yan)過(guo)程。

  χ2檢(jian)驗法的分(fen)(fen)析過程(cheng)是：①. 提出原假設(she)；②. 檢(jian)驗假設(she)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先用若干個(ge)互不相交的小區(qu)間把樣(yang)本(ben)數(shu)據(ju)進行分(fen)(fen)組，通常每個(ge)區(qu)間的數(shu)據(ju)不少于5個(ge)，若不滿足這(zhe)一要(yao)求，可(ke)以(yi)通過合并區(qu)間來達到這(zhe)一要(yao)求。假設(she)H0成立，根(gen)據(ju)分(fen)(fen)組結果計(ji)算χ2檢(jian)驗統計(ji)量

4. 主要參數的(de)概率分(fen)布(bu)

 根據(ju)以上(shang)分析(xi)步驟，對應(ying)力腐蝕環境(jing)中的(de)(de)離子濃度的(de)(de)統計性(xing)進(jin)行分析(xi)。數據(ju)來自某石化(hua)企(qi)業的(de)(de)監測數據(ju)。頻率直方(fang)圖要將(jiang)樣(yang)本值分為r個不相交的(de)(de)區間，r值可由(you) Sturges公(gong)式確(que)定，并取(qu)整數。r值取(qu)決于樣(yang)本數n。

  首(shou)先，假設(she)各參數服從正態分(fen)布，并畫(hua)出正態分(fen)布的密度函數曲(qu)線，該計(ji)算采用matlab編(bian)程完成，計(ji)算結果如圖6-3所(suo)示(shi)。

  從圖(tu)6-3可(ke)以看出，pH、氯(lv)離(li)子濃度和硫酸根離(li)子濃度滿(man)足(zu)正態分(fen)布(bu)，而亞硫酸根離(li)子濃度不滿(man)足(zu)正態分(fen)布(bu)，經過分(fen)析，認為(wei)滿(man)足(zu)威布(bu)爾分(fen)布(bu)，如圖(tu)6-4所(suo)示。

  經過(guo)卡方檢驗，在顯著性水(shui)平0.05下，可(ke)以認(ren)為(wei)：

  溫(wen)度服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯離子(zi)濃度服(fu)從N(35.3481,17.57352);

  亞(ya)硫酸根離(li)子(zi)濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布(bu)(bu)爾分布(bu)(bu)。

  亞(ya)硫酸(suan)根(gen)離子(zi)濃度服從威(wei)布(bu)爾分布(bu)的原因：亞(ya)硫酸(suan)根(gen)不穩定，與氫(qing)離子(zi)反應，從而(er)濃度逐(zhu)漸減小(xiao)。

三(san)、失效概(gai)率計算方法

1. 解析法

  當應(ying)力和強(qiang)度(du)(du)是比較簡單的(de)變量時，式(shi)（6-4)可以(yi)直接計(ji)算失效(xiao)概率(lv)。在一些研究中，會出現“干涉面積＝失效(xiao)概率(lv)”的(de)說法，這種說法是不正確的(de)。根據可靠(kao)性理(li)論可知(zhi)，應(ying)力－強(qiang)度(du)(du)模型(xing)中強(qiang)度(du)(du)大于應(ying)力的(de)概率(lv)即為(wei)可靠(kao)度(du)(du)。可靠(kao)度(du)(du)P可根據下(xia)式(shi)計(ji)算

  從計(ji)算結果可以看(kan)出，失效概率遠小于干涉面積之和。

2. 數值解析(xi)法

  當(dang)隨(sui)機變量(liang)較(jiao)多(duo)時(shi)，直接(jie)求解(jie)(jie)失(shi)效(xiao)(xiao)概(gai)率值(zhi)是(shi)很(hen)困難的(de)(de)，采用(yong)數(shu)值(zhi)求解(jie)(jie)是(shi)一(yi)種比較(jiao)好的(de)(de)解(jie)(jie)決方法(fa)(fa)(fa)。在應力腐蝕概(gai)率計算中，涉及的(de)(de)隨(sui)機變量(liang)較(jiao)多(duo)且(qie)具有不(bu)同(tong)的(de)(de)分(fen)布類型(xing)，結果難以(yi)用(yong)解(jie)(jie)析法(fa)(fa)(fa)和(he)近似法(fa)(fa)(fa)求解(jie)(jie)，可(ke)以(yi)采用(yong)蒙特卡洛（Monte-Carlo)模擬法(fa)(fa)(fa)。Monte-Carlo模擬法(fa)(fa)(fa)的(de)(de)特點是(shi)：①. 受(shou)研究問(wen)(wen)題維(wei)數(shu)的(de)(de)影響較(jiao)小；②. 不(bu)受(shou)假設約束(shu)；③. 不(bu)存在狀態空(kong)間(jian)爆炸(zha)問(wen)(wen)題；④. 不(bu)受(shou)變量(liang)數(shu)量(liang)的(de)(de)影響。因此，Monte-Carlo法(fa)(fa)(fa)是(shi)一(yi)種處理高維(wei)動(dong)態失(shi)效(xiao)(xiao)概(gai)率問(wen)(wen)題的(de)(de)方法(fa)(fa)(fa)。

  蒙特卡(ka)洛模擬法又(you)稱為隨(sui)機模擬法，基本思想是(shi)：