隨機變(bian)量模型和隨機過程模型是研究在線亞洲日產一區二區:應力腐蝕概率的常用模(mo)型，本章重(zhong)點介紹(shao)隨機(ji)變(bian)量模(mo)型。

一、應力-強度(du)干(gan)涉模型

 1942年，Pugsley提出(chu)了采用(yong)(yong)應(ying)(ying)(ying)力(li)、強(qiang)(qiang)度分(fen)(fen)布(bu)函數曲線的(de)(de)(de)(de)干(gan)涉區(qu)面積(ji)分(fen)(fen)析(xi)失效概(gai)率(lv)的(de)(de)(de)(de)方(fang)法，即(ji)(ji)應(ying)(ying)(ying)力(li)－強(qiang)(qiang)度干(gan)涉模(mo)(mo)型(xing)(xing)(xing)，該模(mo)(mo)型(xing)(xing)(xing)在(zai)構(gou)(gou)件和(he)系統(tong)的(de)(de)(de)(de)可(ke)靠性(xing)分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)(zhong)得到了廣泛(fan)應(ying)(ying)(ying)用(yong)(yong)。目前(qian)，已成(cheng)為分(fen)(fen)析(xi)構(gou)(gou)件和(he)系統(tong)失效概(gai)率(lv)的(de)(de)(de)(de)重要(yao)模(mo)(mo)型(xing)(xing)(xing)之一。在(zai)結(jie)構(gou)(gou)可(ke)靠性(xing)分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)(zhong)，應(ying)(ying)(ying)力(li)－強(qiang)(qiang)度（S-R)干(gan)涉模(mo)(mo)型(xing)(xing)(xing)應(ying)(ying)(ying)用(yong)(yong)最廣，模(mo)(mo)型(xing)(xing)(xing)中(zhong)(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)S和(he)R的(de)(de)(de)(de)含義不僅(jin)僅(jin)是(shi)力(li)學分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)應(ying)(ying)(ying)力(li)和(he)強(qiang)(qiang)度，二者具(ju)有(you)更(geng)廣泛(fan)的(de)(de)(de)(de)范(fan)疇。對于(yu)一個系統(tong)而言，S指的(de)(de)(de)(de)是(shi)造成(cheng)結(jie)構(gou)(gou)破(po)壞(huai)的(de)(de)(de)(de)所有(you)因素(su)，即(ji)(ji)推動力(li)；R代表了結(jie)構(gou)(gou)抵抗破(po)壞(huai)的(de)(de)(de)(de)能力(li)，即(ji)(ji)阻抗力(li)。

  應(ying)力(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)裂(lie)是(shi)(shi)(shi)一種低(di)(di)(di)應(ying)力(li)脆斷(duan)，是(shi)(shi)(shi)斷(duan)裂(lie)和腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)兩(liang)種機理相互影(ying)響的(de)(de)結果(guo)。因(yin)此(ci)，當應(ying)力(li)還遠(yuan)低(di)(di)(di)于斷(duan)裂(lie)應(ying)力(li)時(shi)就(jiu)能(neng)引起(qi)應(ying)力(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)裂(lie)紋(wen)的(de)(de)產生和擴展。應(ying)力(li)作用(yong)降低(di)(di)(di)了材(cai)(cai)料的(de)(de)耐腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)性能(neng)，而腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)降低(di)(di)(di)了材(cai)(cai)料的(de)(de)斷(duan)裂(lie)強(qiang)度，兩(liang)者是(shi)(shi)(shi)互相促進的(de)(de)。也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)說，機械力(li)和化(hua)學(xue)力(li)的(de)(de)協同(tong)作用(yong)導致了裂(lie)紋(wen)的(de)(de)擴展，如果(guo)只有應(ying)力(li)或腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)單獨作用(yong)，是(shi)(shi)(shi)不會(hui)出(chu)(chu)現(xian)應(ying)力(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)裂(lie)的(de)(de)結果(guo)。應(ying)力(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)斷(duan)裂(lie)要經過一定(ding)的(de)(de)時(shi)間才能(neng)發生，這是(shi)(shi)(shi)因(yin)為能(neng)量(liang)積蓄到(dao)使材(cai)(cai)料破壞的(de)(de)程(cheng)(cheng)度是(shi)(shi)(shi)需要時(shi)間的(de)(de)，應(ying)力(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)是(shi)(shi)(shi)使材(cai)(cai)料強(qiang)度逐漸(jian)退化(hua)的(de)(de)過程(cheng)(cheng)，因(yin)此(ci)，我們可以采用(yong)耐久性損(sun)傷模(mo)型來描(miao)述(shu)應(ying)力(li)腐(fu)(fu)(fu)(fu)蝕(shi)(shi)(shi)失效的(de)(de)物(wu)理過程(cheng)(cheng)。由S-R干(gan)涉模(mo)型的(de)(de)理論可以寫(xie)出(chu)(chu)結構的(de)(de)極(ji)限狀態(tai)方程(cheng)(cheng)

  因此，對(dui)于失(shi)效概(gai)率(lv)的(de)研究就轉化為(wei)對(dui)強(qiang)度(du)和(he)應(ying)力由于概(gai)率(lv)分布干(gan)涉引起的(de)狀態失(shi)效問題的(de)研究。當fs(s)和(he)fR(r)分別表示應(ying)力和(he)強(qiang)度(du)的(de)概(gai)率(lv)密(mi)度(du)函(han)數(shu)時，圖(tu)中兩者重疊部分面積反映了失(shi)效概(gai)率(lv)的(de)大小，如(ru)圖(tu)6-1所示。

  假(jia)如(ru)最初(chu)應(ying)力(li)(li)(li)與強度(du)是留有充分的安全余(yu)量的，那么(me)經過一定時(shi)間后，隨著應(ying)力(li)(li)(li)分布(bu)與強度(du)分布(bu)的交(jiao)疊，就有失效發生(sheng)，這(zhe)種情(qing)形可以說(shuo)是耐久模(mo)(mo)型(xing)(xing)的典型(xing)(xing)例子。根據應(ying)力(li)(li)(li)－強度(du)干涉模(mo)(mo)型(xing)(xing)不但能夠求解應(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)蝕(shi)失效概(gai)(gai)率，還可以分析應(ying)力(li)(li)(li)腐(fu)蝕(shi)不同階(jie)段的概(gai)(gai)率情(qing)況，如(ru)裂(lie)紋的萌生(sheng)概(gai)(gai)率、裂(lie)紋的擴展概(gai)(gai)率等。

  當(dang)材料發(fa)生腐(fu)蝕后，隨著(zhu)時(shi)間的推移(yi)，材料抵抗(kang)破(po)壞的能(neng)力降低(di)，而腐(fu)蝕環境(jing)很可能(neng)變(bian)得更(geng)加苛刻。例如應力腐(fu)蝕，隨著(zhu)裂(lie)紋的擴展，材料強度(du)降低(di)、裂(lie)紋尖端應力集中區域增大(da)(da)，局部存(cun)在侵蝕性(xing)離子的富集，使得廣義(yi)應力變(bian)大(da)(da)而強度(du)降低(di)，此時(shi)S(t)和R(t)都是與時(shi)間有(you)關的變(bian)量(liang)，很顯然(ran)，概率(lv)密度(du)函(han)數也著(zhu)時(shi)間的變(bian)化(hua)而變(bian)化(hua)。當(dang)強度(du)隨時(shi)間發(fa)生衰(shuai)退(tui)時(shi)，強度(du)和應力組成的干涉區域隨時(shi)間變(bian)化(hua)會(hui)越(yue)來越(yue)大(da)(da)，這意(yi)味著(zhu)產品可靠(kao)性(xing)在降低(di)。

  大多數參(can)數的(de)(de)不確定性與(yu)時(shi)間有(you)關。發(fa)生應力(li)(li)腐蝕時(shi)，構件所(suo)受的(de)(de)廣義應力(li)(li)一般是隨機(ji)過(guo)程(cheng)，應力(li)(li)稱為(wei)時(shi)間的(de)(de)函數，強度為(wei)一固(gu)定的(de)(de)臨界(jie)值，如圖6-2所(suo)示(shi)，功能(neng)函數應表示(shi)為(wei)

二、應力腐蝕(shi)參數的概率分布估計(ji)

1. 變量分布類型確定

  采(cai)用(yong)S-R模型(xing)分(fen)(fen)析(xi)應(ying)(ying)力腐蝕(shi)(shi)失效概(gai)率時，第一步(bu)是(shi)(shi)確(que)定(ding)應(ying)(ying)力腐蝕(shi)(shi)的(de)(de)(de)“推動力”，即S所包含的(de)(de)(de)參(can)數(shu)，包括(kuo)溫度(du)(du)、侵蝕(shi)(shi)性離(li)子濃度(du)(du)、pH值(zhi)(zhi)等，分(fen)(fen)析(xi)各參(can)數(shu)的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)概(gai)型(xing)。在進(jin)(jin)行參(can)數(shu)的(de)(de)(de)概(gai)率分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)類型(xing)研究中(zhong)，一般經過以(yi)下步(bu)驟：①. 假設隨(sui)機(ji)變(bian)量服從(cong)某一分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)；②. 在假設分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)基礎上構建統(tong)計(ji)量；③. 根(gen)據(ju)統(tong)計(ji)量的(de)(de)(de)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)做出(chu)統(tong)計(ji)推斷，進(jin)(jin)行擬合檢驗；④. 選擇(ze)最優概(gai)型(xing)。常用(yong)的(de)(de)(de)統(tong)計(ji)量包括(kuo)均值(zhi)(zhi)、標(biao)準(zhun)差、極差、變(bian)異(yi)系數(shu)、偏度(du)(du)等。正態分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)、威布(bu)(bu)(bu)(bu)爾（Weibull)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)、指數(shu)分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)以(yi)及Poisson分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)等都是(shi)(shi)應(ying)(ying)力腐蝕(shi)(shi)概(gai)率分(fen)(fen)析(xi)中(zhong)經常用(yong)到(dao)的(de)(de)(de)隨(sui)機(ji)變(bian)量的(de)(de)(de)概(gai)率分(fen)(fen)布(bu)(bu)(bu)(bu)類型(xing)。

通(tong)常(chang)，直接計(ji)算概率的密度(du)(du)函(han)(han)數難度(du)(du)非常(chang)大，常(chang)用的處理方法(fa)是(shi)把概率密度(du)(du)估計(ji)轉化為參(can)數估計(ji)問題(ti)。因(yin)此概率密度(du)(du)函(han)(han)數的確(que)定是(shi)關(guan)鍵(jian)，正確(que)的密度(du)(du)函(han)(han)數是(shi)獲得準確(que)估計(ji)值的重要前(qian)提。

2. 參數(shu)的(de)估計和(he)假設(she)檢驗

由于(yu)正態(tai)分(fen)布情況發生(sheng)的比較多，因此，以正態(tai)分(fen)布為例加以說明。參(can)(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)的思(si)路是采用樣本統計(ji)(ji)量(liang)估(gu)計(ji)(ji)總(zong)體(ti)參(can)(can)數(shu)。常用的參(can)(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)有(you)(you)矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)和(he)最(zui)大（極大）似(si)然(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)，除此之外，還有(you)(you)最(zui)小二乘、貝(bei)葉(xie)斯估(gu)計(ji)(ji)等方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)。矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)不受(shou)(shou)變(bian)量(liang)分(fen)布的影響，這也恰(qia)恰(qia)成為該方(fang)法(fa)(fa)(fa)(fa)的缺點(dian)(dian)，即變(bian)量(liang)的分(fen)布信(xin)息不能被(bei)充分(fen)利用，一般具(ju)有(you)(you)多個分(fen)析結果。與矩(ju)估(gu)計(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)相(xiang)反，最(zui)大似(si)然(ran)法(fa)(fa)(fa)(fa)的使用受(shou)(shou)已知變(bian)量(liang)概(gai)型(xing)的影響，必須在(zai)已知概(gai)型(xing)的前提下才能使用，而且假設的概(gai)率模型(xing)正確(que)性對參(can)(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)結果影響很(hen)大。最(zui)大似(si)然(ran)估(gu)計(ji)(ji)法(fa)(fa)(fa)(fa)具(ju)有(you)(you)計(ji)(ji)算(suan)(suan)簡(jian)單、收斂(lian)型(xing)好(hao)等特點(dian)(dian)，在(zai)參(can)(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)中的應用更加廣泛，其主(zhu)要計(ji)(ji)算(suan)(suan)步驟如下：

  式（6-10)稱為似然(ran)方(fang)程組，求解(jie)該方(fang)程組，得出均值、方(fang)差(cha)最大似然(ran)估計值

  以上(shang)過程是參(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)，下(xia)面對(dui)參(can)數(shu)假(jia)設(she)檢驗。與參(can)數(shu)估(gu)計(ji)(ji)的目的相同，參(can)數(shu)假(jia)設(she)檢驗也(ye)是根據樣本(ben)信息對(dui)總(zong)體的數(shu)量特征進行推斷。

  假設(she)檢驗(yan)是(shi)(shi)以樣本資(zi)料(liao)對總體的(de)(de)先驗(yan)假設(she)是(shi)(shi)否(fou)成(cheng)立(li)(li)，根據(ju)樣本的(de)(de)統計量檢驗(yan)假設(she)的(de)(de)總體參數的(de)(de)可靠度，同時做出(chu)判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)，判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)包括(kuo)接(jie)受和(he)拒絕。分(fen)析過程是(shi)(shi)：①. 提出(chu)原假設(she)（要求檢驗(yan)的(de)(de)假設(she)）H0 :F(x)=F0(x)和(he)備選假設(she)（如果(guo)(guo)原假設(she)不(bu)成(cheng)立(li)(li)，就要接(jie)受另一個(ge)假設(she)）H1:F(x)≠F0(x);②. 選取恰(qia)當的(de)(de)檢驗(yan)統計量；③. 計算觀測(ce)值(zhi)；④. 確定顯(xian)著性水平；⑤. 依據(ju)檢驗(yan)統計量觀測(ce)值(zhi)的(de)(de)位置給出(chu)判(pan)斷(duan)結(jie)果(guo)(guo)。

在以上分析過程中，可能會犯兩(liang)類錯誤(wu)(wu)：當H0為(wei)真時(shi)(shi)而拒絕H0,稱為(wei)第一類錯誤(wu)(wu)；當H0為(wei)假時(shi)(shi)而接受H0,稱為(wei)第二(er)類錯誤(wu)(wu)。犯兩(liang)類錯誤(wu)(wu)的(de)(de)概率(lv)通常是(shi)矛(mao)盾的(de)(de)：一個概率(lv)小了另(ling)一個概率(lv)就(jiu)大(da)。在實(shi)際使用中，我們(men)一般限定犯第一類錯誤(wu)(wu)的(de)(de)概率(lv)不超(chao)過給定的(de)(de)α,使犯第二(er)類錯誤(wu)(wu)的(de)(de)概率(lv)就(jiu)可能小。在正態總體參(can)數的(de)(de)假設檢驗(yan)中，主要包括均值的(de)(de)U檢驗(yan)和t檢驗(yan)、方(fang)差的(de)(de)χ2檢驗(yan)等。

3. 分布的假設檢驗

  上一小節介紹的是(shi)(shi)在總體(ti)(ti)分布已(yi)知的情況(kuang)下，對分布中(zhong)的一些未知參數進(jin)行檢(jian)驗(yan)(yan)。但是(shi)(shi)，很多時候(hou)并(bing)不知道總體(ti)(ti)的分布規(gui)律，我(wo)們(men)往往是(shi)(shi)根據樣本來假設(she)總體(ti)(ti)的分布類(lei)型，因此，對于總體(ti)(ti)樣本所(suo)假設(she)的分布是(shi)(shi)否正確，還需要檢(jian)驗(yan)(yan)，常用的有χ2、J-B、A-D、K-S等檢(jian)驗(yan)(yan)方法，其中(zhong)χ2檢(jian)驗(yan)(yan)應用較多，下面(mian)以這種(zhong)方法為例，介紹檢(jian)驗(yan)(yan)過程。

  χ2檢驗法(fa)的分析過(guo)程是：①. 提出原假設(she)(she)；②. 檢驗假設(she)(she)H0:Fx(x)=F0(x;θ1,θ2,··,θm).先(xian)用若干個(ge)互不相(xiang)交(jiao)的小區(qu)間(jian)(jian)把樣(yang)本數(shu)據進行(xing)分組，通常每(mei)個(ge)區(qu)間(jian)(jian)的數(shu)據不少于5個(ge)，若不滿足這一要求，可以通過(guo)合(he)并區(qu)間(jian)(jian)來達到這一要求。假設(she)(she)H0成立，根據分組結果計算χ2檢驗統(tong)計量

4. 主要(yao)參數(shu)的概率分布

 根(gen)據以(yi)上分析步驟，對應力腐(fu)蝕環境(jing)中(zhong)的(de)(de)(de)離子濃度的(de)(de)(de)統計性進(jin)行分析。數(shu)據來自某石化企業的(de)(de)(de)監測數(shu)據。頻率直方圖要將(jiang)樣(yang)本(ben)值分為r個不相交的(de)(de)(de)區間，r值可由 Sturges公式確定，并取(qu)整數(shu)。r值取(qu)決于樣(yang)本(ben)數(shu)n。

  首先，假設各(ge)參數服從正態(tai)分(fen)布，并(bing)畫出正態(tai)分(fen)布的密度(du)函(han)數曲線，該計(ji)算采用matlab編(bian)程完成，計(ji)算結果(guo)如圖6-3所示(shi)。

  從圖6-3可以看出，pH、氯(lv)離子濃(nong)度和硫酸根離子濃(nong)度滿足正(zheng)態分(fen)(fen)(fen)布(bu)，而亞硫酸根離子濃(nong)度不滿足正(zheng)態分(fen)(fen)(fen)布(bu)，經過分(fen)(fen)(fen)析(xi)，認為滿足威布(bu)爾分(fen)(fen)(fen)布(bu)，如圖6-4所示。

  經過卡方檢驗，在(zai)顯著性水平0.05下(xia)，可以認為：

  溫度服從N(98.25,1.642);

  pH服從N(4.4608,0.29522);

  硫酸根離子濃度服從N(143.5204,9.48592);

  氯離子濃度服從N(35.3481,17.57352);

  亞(ya)硫酸根離子(zi)濃度服從α=0.5926,β=1.5746的兩參數威布(bu)爾分(fen)布(bu)。

  亞(ya)硫酸根離子濃度(du)服從威(wei)布爾分布的原因：亞(ya)硫酸根不穩定，與氫離子反(fan)應，從而濃度(du)逐漸減(jian)小。

三、失效(xiao)概率(lv)計(ji)算方法

1. 解析(xi)法

  當應(ying)力(li)和(he)強度(du)(du)(du)是比(bi)較簡(jian)單的(de)(de)變量時，式(shi)（6-4)可以直接計算失(shi)效概率。在一些(xie)研究中(zhong)，會出現“干(gan)涉面(mian)積＝失(shi)效概率”的(de)(de)說法，這(zhe)種(zhong)說法是不(bu)正確的(de)(de)。根據可靠(kao)性理論(lun)可知(zhi)，應(ying)力(li)－強度(du)(du)(du)模型中(zhong)強度(du)(du)(du)大于應(ying)力(li)的(de)(de)概率即為(wei)可靠(kao)度(du)(du)(du)。可靠(kao)度(du)(du)(du)P可根據下式(shi)計算

  從計算結果可以看出，失(shi)效概率遠小(xiao)于干涉(she)面(mian)積(ji)之和。

2. 數值解析法(fa)

  當隨機(ji)變(bian)量較(jiao)多(duo)時，直接(jie)求(qiu)解失效概(gai)率值是很困難(nan)的(de)(de)(de)(de)，采(cai)用(yong)數(shu)值求(qiu)解是一種比較(jiao)好的(de)(de)(de)(de)解決方法。在(zai)應力腐蝕概(gai)率計算中，涉及的(de)(de)(de)(de)隨機(ji)變(bian)量較(jiao)多(duo)且具有不(bu)同的(de)(de)(de)(de)分(fen)布(bu)類型，結果難(nan)以(yi)用(yong)解析(xi)法和近(jin)似法求(qiu)解，可以(yi)采(cai)用(yong)蒙(meng)特卡洛（Monte-Carlo)模擬法。Monte-Carlo模擬法的(de)(de)(de)(de)特點是：①. 受研究問題(ti)維數(shu)的(de)(de)(de)(de)影響(xiang)較(jiao)小；②. 不(bu)受假設約束；③. 不(bu)存(cun)在(zai)狀態(tai)(tai)空(kong)間爆炸問題(ti)；④. 不(bu)受變(bian)量數(shu)量的(de)(de)(de)(de)影響(xiang)。因此，Monte-Carlo法是一種處理高維動(dong)態(tai)(tai)失效概(gai)率問題(ti)的(de)(de)(de)(de)方法。

  蒙(meng)特卡洛(luo)模擬(ni)法又稱為隨機模擬(ni)法，基(ji)本(ben)思想是：